Três máquinas, e C produzem respectivamente e do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são e . Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três máquinas na fábrica: A, B e C. Cada uma delas produz uma certa porcentagem das peças totais (40%, 50% e 10%, respectivamente). Além disso, sabemos a porcentagem de peças defeituosas que cada máquina produz (3%, 5% e 2%, respectivamente). A pergunta é: se pegarmos uma peça aleatoriamente e ela for defeituosa, qual a probabilidade de essa peça ter vindo da máquina B?
Aqui, estamos lidando com probabilidade condicional, ou seja, queremos saber a probabilidade de uma ocorrência (a peça ser da máquina B) dado que outra condição já ocorreu (a peça é defeituosa). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as probabilidades que já conhecemos:
  • Probabilidade de uma peça ser produzida pela máquina A ( ): 40% ou 0,40
  • Probabilidade de uma peça ser produzida pela máquina B ( ): 50% ou 0,50
  • Probabilidade de uma peça ser produzida pela máquina C ( ): 10% ou 0,10
Também conhecemos as probabilidades de uma peça ser defeituosa em cada máquina:
  • Probabilidade de uma peça ser defeituosa na máquina A ( ): 3% ou 0,03
  • Probabilidade de uma peça ser defeituosa na máquina B ( ): 5% ou 0,05
  • Probabilidade de uma peça ser defeituosa na máquina C ( ): 2% ou 0,02

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar , que é a probabilidade de a peça ter vindo da máquina B dado que ela é defeituosa.
Para isso, usamos o Teorema de Bayes, que nos diz que:
Aqui, é a probabilidade total de uma peça ser defeituosa, independente de qual máquina a produziu. Podemos calcular somando as probabilidades de uma peça ser defeituosa em cada máquina, ponderadas pela produção de cada uma:

Passo 4

Vamos calcular usando os valores que temos:
Então, a probabilidade total de uma peça ser defeituosa é 3,9%.

Passo 5

Agora que temos , podemos voltar ao Teorema de Bayes para calcular :

Resposta

A probabilidade de que a peça defeituosa tenha vindo da máquina B é de aproximadamente 64,10%.

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