Três máquinas,
e C produzem respectivamente
e
do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são
e
. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três máquinas na fábrica: A, B e C. Cada uma delas produz uma certa porcentagem das peças totais (40%, 50% e 10%, respectivamente). Além disso, sabemos a porcentagem de peças defeituosas que cada máquina produz (3%, 5% e 2%, respectivamente). A pergunta é: se pegarmos uma peça aleatoriamente e ela for defeituosa, qual a probabilidade de essa peça ter vindo da máquina B?
Aqui, estamos lidando com probabilidade condicional, ou seja, queremos saber a probabilidade de uma ocorrência (a peça ser da máquina B) dado que outra condição já ocorreu (a peça é defeituosa). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as probabilidades que já conhecemos:
- Probabilidade de uma peça ser produzida pela máquina A (
): 40% ou 0,40 - Probabilidade de uma peça ser produzida pela máquina B (
): 50% ou 0,50 - Probabilidade de uma peça ser produzida pela máquina C (
): 10% ou 0,10
Também conhecemos as probabilidades de uma peça ser defeituosa em cada máquina:
- Probabilidade de uma peça ser defeituosa na máquina A (
): 3% ou 0,03 - Probabilidade de uma peça ser defeituosa na máquina B (
): 5% ou 0,05 - Probabilidade de uma peça ser defeituosa na máquina C (
): 2% ou 0,02
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar
, que é a probabilidade de a peça ter vindo da máquina B dado que ela é defeituosa.
Para isso, usamos o Teorema de Bayes, que nos diz que:
Aqui,
é a probabilidade total de uma peça ser defeituosa, independente de qual máquina a produziu. Podemos calcular
somando as probabilidades de uma peça ser defeituosa em cada máquina, ponderadas pela produção de cada uma:
Passo 4
Vamos calcular
usando os valores que temos:
Então, a probabilidade total de uma peça ser defeituosa é 3,9%.
Passo 5
Agora que temos
, podemos voltar ao Teorema de Bayes para calcular
:
Resposta
A probabilidade de que a peça defeituosa tenha vindo da máquina B é de aproximadamente 64,10%.