Três máquinas,
e C produzem respectivamente
e
do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são
e
. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três máquinas na fábrica: A, B e C. Cada uma delas produz uma certa porcentagem das peças totais (40%, 50% e 10%, respectivamente). Além disso, sabemos a porcentagem de peças defeituosas que cada máquina produz (3%, 5% e 2%, respectivamente). A pergunta é: se pegarmos uma peça aleatoriamente e ela for defeituosa, qual a probabilidade de essa peça ter vindo da máquina B?
Aqui, estamos lidando com probabilidade condicional, ou seja, queremos saber a probabilidade de uma ocorrência (a peça ser da máquina B) dado que outra condição já ocorreu (a peça é defeituosa). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as probabilidades que já conhecemos:
- Probabilidade de uma peça ser produzida pela máquina A (
): 40% ou 0,40 - Probabilidade de uma peça ser produzida pela máquina B (
): 50% ou 0,50 - Probabilidade de uma peça ser produzida pela máquina C (
): 10% ou 0,10
Também conhecemos as probabilidades de uma peça ser defeituosa em cada máquina:
- Probabilidade de uma peça ser defeituosa na máquina A (
): 3% ou 0,03 - Probabilidade de uma peça ser defeituosa na máquina B (
): 5% ou 0,05 - Probabilidade de uma peça ser defeituosa na máquina C (
): 2% ou 0,02
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar
, que é a probabilidade de a peça ter vindo da máquina B dado que ela é defeituosa.
Para isso, usamos o Teorema de Bayes, que nos diz que:
Aqui,
é a probabilidade total de uma peça ser defeituosa, independente de qual máquina a produziu. Podemos calcular
somando as probabilidades de uma peça ser defeituosa em cada máquina, ponderadas pela produção de cada uma:
Passo 4
Vamos calcular
usando os valores que temos:
Então, a probabilidade total de uma peça ser defeituosa é 3,9%.
Passo 5
Agora que temos
, podemos voltar ao Teorema de Bayes para calcular
:
Resposta
A probabilidade de que a peça defeituosa tenha vindo da máquina B é de aproximadamente 64,10%.
Exercícios relacionados
A probabilidade de um indivíduo X contrair uma doença A é
, uma doença B é
e uma doença C é
. A probabilidade do indivíduo com doença A ficar com lesões é
; com doença B ficar com lesões é
e com doença C ficar com lesões é
. Foi encontrado lesão no indivíduo X. Qual a probabilidade de que tenha sido causado pela doença
?
Considere
e
eventos do mesmo espaço amostral tal que
e
. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras?
Escolha uma ou mais:
e
poderiam ser mutuamente exclusivos.
A probabilidade da união de e
é menor que 1.
Escolha uma ou mais:
A probabilidade da união de
- Defina com suas próprias palavras:
I. Distribuições de Probabilidade
II. Ensaio de Bernoulli
III. Distribuição de Bernoulli
IV. Distribuição Binomial
V. Aplicações da Distribuição Binomial
VI. Distribuição de Poisson
VII. Aplicações da Distribuição de Poisson
VIII. Distribuição Uniforme
IX. Aplicações da Distribuição Uniforme
X. Distribuição Normal
XI. Aplicações da Distribuição Normal
XII. Distribuição Normal Padrão
XIII. Tabela Normal
XIV. Amostragem
XV. Amostragem não probabilista
XVI. Amostragem probabilista
XVII. Amostragem devido a Inacessibilidade da população
XVIII. Amostragem a esmo ou sem norma
XIX. Amostragem de população contínua
XX. Amostragem intencional
XXI. Amostragem Aleatória simples
XXII. Amostragem Sistemática
XXIII. Amostragem por Conglomerados
XXIV. Amostragem Estratificada
XXV. Amostragem Múltipla
XXVI. Distribuições Amostrais
XXVII. Distribuição Amostral da Média
XXVIII. Aproximação Normal para a Distribuição Amostral da Média
XXIX. Distribuição Amostral da Proporção
XXX. Estimação Pontual
XXXI. Estimação por Intervalo
XXXII. Nível de Confiança
XXXIII. Intervalo de Confiança para Média
XXXIV. Condições para se calcular um Intervalo de Confiança para Média
XXXV. Distribuição t de Student
XXXVI. Intervalo de Confiança para Proporção
Essa campanha de vacinação deve vacinar 2000 crianças em uma localidade com 3980 crianças. Usando
como a probabilidade de uma criança ser vacinada e calculando a Esperança, é possível afirmar que essa meta será atingida? Discuta a sua resposta.