Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40 %, 50 % e 10 % do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3 %, 5 % e 2 %. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina B ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três máquinas na fábrica: A, B e C. Cada uma delas produz uma certa porcentagem das peças totais (40%, 50% e 10%, respectivamente). Além disso, sabemos a porcentagem de peças defeituosas que cada máquina produz (3%, 5% e 2%, respectivamente). A pergunta é: se pegarmos uma peça aleatoriamente e ela for defeituosa, qual a probabilidade de essa peça ter vindo da máquina B?
Aqui, estamos lidando com probabilidade condicional, ou seja, queremos saber a probabilidade de uma ocorrência (a peça ser da máquina B) dado que outra condição já ocorreu (a peça é defeituosa). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as probabilidades que já conhecemos:
  • Probabilidade de uma peça ser produzida pela máquina A ( P(A)): 40% ou 0,40
  • Probabilidade de uma peça ser produzida pela máquina B ( P(B)): 50% ou 0,50
  • Probabilidade de uma peça ser produzida pela máquina C ( P(C)): 10% ou 0,10
Também conhecemos as probabilidades de uma peça ser defeituosa em cada máquina:
  • Probabilidade de uma peça ser defeituosa na máquina A ( P(D|A)): 3% ou 0,03
  • Probabilidade de uma peça ser defeituosa na máquina B ( P(D|B)): 5% ou 0,05
  • Probabilidade de uma peça ser defeituosa na máquina C ( P(D|C)): 2% ou 0,02

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar P(B|D), que é a probabilidade de a peça ter vindo da máquina B dado que ela é defeituosa.
Para isso, usamos o Teorema de Bayes, que nos diz que:
P(B|D) = P(D|B) cdot P(B)P(D)
Aqui, P(D) é a probabilidade total de uma peça ser defeituosa, independente de qual máquina a produziu. Podemos calcular P(D) somando as probabilidades de uma peça ser defeituosa em cada máquina, ponderadas pela produção de cada uma:
P(D) = P(D|A) cdot P(A) + P(D|B) cdot P(B) + P(D|C) cdot P(C)

Passo 4

Vamos calcular P(D) usando os valores que temos:
P(D) = (0,03 times 0,40) + (0,05 times 0,50) + (0,02 times 0,10)
P(D) = 0,012 + 0,025 + 0,002 = 0,039
Então, a probabilidade total de uma peça ser defeituosa é 3,9%.

Passo 5

Agora que temos P(D), podemos voltar ao Teorema de Bayes para calcular P(B|D):
P(B|D) = 0,05 times 0,500,039
P(B|D) = 0,0250,039 approx 0,6410

Resposta

A probabilidade de que a peça defeituosa tenha vindo da máquina B é de aproximadamente 64,10%.

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