O campo elétrico dentro de uma esfera não condutora de raio R com carga espalhada com uniformidade por todo o seu volume, està radialmente direcionado e tem módulo dado por
Em que, (positiva ou negativa) é a carga total da esfera e é à distância ao centro da esfera. Tomando no centro da esfera, determine o potencial dentro da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera não condutora com carga distribuída uniformemente. A gente precisa encontrar o potencial elétrico dentro dessa esfera, onde no centro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e potencial elétrico da eletrostática. Precisamos entender como relacionar o campo elétrico com o potencial através de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico pela equação:
Isso significa que o campo elétrico é a derivada negativa do potencial em relação à distância .

Passo 3

Para encontrar , precisamos integrar o campo elétrico. Vamos rearranjar a equação para obter:
Então, integrando ambos os lados de até um ponto qualquer dentro da esfera ( ), temos:
Sabemos que , então:

Passo 4

Substituindo a expressão do campo elétrico dada no problema:
Na integral, fica:
Fatorando os termos constantes fora da integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Então, substituindo de volta:

Resposta

O potencial elétrico dentro da esfera é dado por

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A B C D
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