O campo elétrico dentro de uma esfera não condutora de raio R com carga espalhada com uniformidade por todo o seu volume, està radialmente direcionado e tem módulo dado por
E(r)=q r4 pi t0 R^7
Em que, q (positiva ou negativa) é a carga total da esfera e r é à distância ao centro da esfera. Tomando V=0 no centro da esfera, determine o potencial V(r) dentro da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera não condutora com carga distribuída uniformemente. A gente precisa encontrar o potencial elétrico dentro dessa esfera, onde no centro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e potencial elétrico da eletrostática. Precisamos entender como relacionar o campo elétrico com o potencial através de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico pela equação:
E(r) = -dVdr
Isso significa que o campo elétrico é a derivada negativa do potencial em relação à distância .

Passo 3

Para encontrar dVdr = -E(r) , precisamos integrar o campo elétrico. Vamos rearranjar a equação para obter:
V(r) - V(0) = -integral0^r E(r') , dr'
Então, integrando ambos os lados de V(r) = -integral0^r E(r') , dr' até um ponto qualquer dentro da esfera ( ), temos:
Sabemos que , então:

Passo 4

Substituindo a expressão do campo elétrico dada no problema:
E(r') = q , r'4 pi t0 R^7
Na integral, fica:
V(r) = -integral0^r q , r'4 pi t0 R^7 , dr'
Fatorando os termos constantes fora da integral:
V(r) = -q4 pi t0 R^7 integral0^r r' , dr'

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^r r' , dr' = [ (r')^22 ]0^r = r^22
Então, substituindo de volta:
V(r) = -q4 pi t0 R^7 cdot r^22 = -q r^28 pi t0 R^7

Resposta

O potencial elétrico dentro da esfera é dado por
V(r) = -q r^28 pi t0 R^7

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