O campo elétrico dentro de uma esfera não condutora de raio R com carga espalhada com uniformidade por todo o seu volume, està radialmente direcionado e tem módulo dado por
Em que,
(positiva ou negativa) é a carga total da esfera e
é à distância ao centro da esfera. Tomando
no centro da esfera, determine o potencial
dentro da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera não condutora com carga distribuída uniformemente. A gente precisa encontrar o potencial elétrico
dentro dessa esfera, onde
no centro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e potencial elétrico da eletrostática. Precisamos entender como relacionar o campo elétrico
com o potencial
através de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico pela equação:
Isso significa que o campo elétrico é a derivada negativa do potencial em relação à distância
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos integrar o campo elétrico. Vamos rearranjar a equação para obter:
Então, integrando ambos os lados de
até um ponto qualquer dentro da esfera (
), temos:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Substituindo a expressão do campo elétrico dada no problema:
Na integral, fica:
Fatorando os termos constantes fora da integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Então, substituindo de volta:
Resposta
O potencial elétrico dentro da esfera é dado por