Um campo elétrico não uniforme é dado pela expressão:
E=a y x+b z y+c x^2,
onde a, b e c são constantes.
Determine o fluxo do campo elétrico através de uma superficie retangular contida no plano x y e com dois lados indo de x=0 até x=w e y=0 até y=h.

Passo 1

Vamos lá! Temos um campo elétrico não uniforme dado por . A gente precisa encontrar o fluxo desse campo elétrico através de uma superfície retangular que está no plano , com variando de a e de a . Para isso, vamos usar conceitos de fluxo elétrico e cálculo de integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fluxo elétrico ( Phi = integral E cdot n , dS ) através de uma superfície é dado por:
Aqui, é o vetor normal à superfície, e é um elemento de área da superfície.

Passo 3

Nossa superfície está no plano E cdot n = a y x cdot z + b z y cdot z + c x^2 z cdot z = c x^2 , então o vetor normal é na direção do eixo , ou seja, . Agora, vamos calcular o produto escalar :
Os outros termos anulam porque e .

Passo 4

Agora, vamos montar a integral para calcular o fluxo:
Phi = integral0^w integral0^h c x^2 , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a Phi = c integral0^w x^2 [ y ]0^h , dx = c h integral0^w x^2 , dx :
Phi = c h [ x^33 ]0^w = c h ( w^33 - 0 ) = c h w^33
Em seguida, integramos em relação a :

Resposta

O fluxo do campo elétrico através da superfície retangular é .

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