Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio e comprimento , carregada com carga , é envolta por uma casca cilíndrica, de raio e mesmo comprimento , carregada com uma carga . Use a lei de Gauss para determinar:
o vetor campo elétrico a uma distância radial ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática usando a Lei de Gauss. A gente tem uma barra cilíndrica condutora muito longa com raio e comprimento , carregada com uma carga . Essa barra está envolta por uma casca cilíndrica com raio e mesmo comprimento , carregada com uma carga . Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico em um ponto que está a uma distância radial da barra central até a casca. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante :
No nosso caso, vamos escolher uma superfície gaussiana que é um cilindro imaginário com raio onde e comprimento , pois a barra é muito longa e isso simplifica os cálculos graças à simetria.

Passo 3

Vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Devido à simetria cilíndrica, o campo elétrico tem a mesma magnitude em todos os pontos do cilindro gaussiano e é direcionado radialmente para fora (ou para dentro, dependendo da carga). Assim, o fluxo elétrico é:
Aqui, é a área lateral do cilindro gaussiano.

Passo 4

Agora, precisamos determinar a carga total dentro da superfície gaussiana. Como está entre e , a única carga dentro é a da barra interna, que é .

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
Agora, basta resolver para :

Resposta

O campo elétrico a uma distância é dado por:
Onde é o vetor unitário na direção radial.

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