Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio
e comprimento
, carregada com carga
, é envolta por uma casca cilíndrica, de raio
e mesmo comprimento
, carregada com uma carga
. Use a lei de Gauss para determinar:
o vetor campo elétrico a uma distância radial
;
o vetor campo elétrico a uma distância radial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática usando a Lei de Gauss. A gente tem uma barra cilíndrica condutora muito longa com raio
e comprimento
, carregada com uma carga
. Essa barra está envolta por uma casca cilíndrica com raio
e mesmo comprimento
, carregada com uma carga
. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico em um ponto que está a uma distância radial
da barra central até a casca. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga envolvida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante
:
No nosso caso, vamos escolher uma superfície gaussiana que é um cilindro imaginário com raio
onde
e comprimento
, pois a barra é muito longa e isso simplifica os cálculos graças à simetria.
Passo 3
Vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Devido à simetria cilíndrica, o campo elétrico
tem a mesma magnitude em todos os pontos do cilindro gaussiano e é direcionado radialmente para fora (ou para dentro, dependendo da carga). Assim, o fluxo elétrico é:
Aqui,
é a área lateral do cilindro gaussiano.
Passo 4
Agora, precisamos determinar a carga total
dentro da superfície gaussiana. Como
está entre
e
, a única carga dentro é a da barra interna, que é
.
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss:
Agora, basta resolver para
:
Resposta
O campo elétrico a uma distância
é dado por:
Onde
é o vetor unitário na direção radial.