Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio R1 e comprimento L, carregada com carga Q1=+q, é envolta por uma casca cilíndrica, de raio R2 e mesmo comprimento L, carregada com uma carga Q2=-2 q. Use a lei de Gauss para determinar:
o vetor campo elétrico a uma distância radial R1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática usando a Lei de Gauss. A gente tem uma barra cilíndrica condutora muito longa com raio e comprimento , carregada com uma carga . Essa barra está envolta por uma casca cilíndrica com raio e mesmo comprimento , carregada com uma carga . Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico em um ponto que está a uma distância radial da barra central até a casca. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante oint E cdot dA = Qintvarepsilon0 :
No nosso caso, vamos escolher uma superfície gaussiana que é um cilindro imaginário com raio onde e comprimento , pois a barra é muito longa e isso simplifica os cálculos graças à simetria.

Passo 3

Vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Devido à simetria cilíndrica, o campo elétrico oint E cdot dA = E cdot (2pi r L) tem a mesma magnitude em todos os pontos do cilindro gaussiano e é direcionado radialmente para fora (ou para dentro, dependendo da carga). Assim, o fluxo elétrico é:
Aqui, é a área lateral do cilindro gaussiano.

Passo 4

Agora, precisamos determinar a carga total dentro da superfície gaussiana. Como está entre e , a única carga dentro é a da barra interna, que é .

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot (2pi r L) = qvarepsilon0
Agora, basta resolver para E = q2pi varepsilon0 r L :

Resposta

O campo elétrico a uma distância E = q2pi varepsilon0 r L , r é dado por:
Onde é o vetor unitário na direção radial.

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