Um campo elétrico no vácuo, que depende da coordenada e do tempo , aponta na direção e é dado pela a seguinte expressão , onde , e são constantes. Partindo das equações de Maxwell, determinar o campo magnético sabendo que este depende de e t e das constantes do enunciado acima.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo elétrico no vácuo que varia com a coordenada e com o tempo . Esse campo elétrico está na direção e é dado por:
Queremos determinar o campo magnético correspondente, usando as equações de Maxwell. Para isso, precisamos lembrar das equações de Maxwell que relacionam os campos elétrico e magnético.

Passo 2

As equações de Maxwell são um conjunto de quatro equações fundamentais que descrevem como os campos elétrico e magnético se comportam e interagem. Para esse problema, vamos utilizar a equação de Maxwell-Ampère modificada, que relaciona o campo magnético com o campo elétrico em regiões onde não há cargas livres nem correntes:
Aqui, é a permeabilidade do vácuo e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Primeiro, precisamos calcular a derivada parcial de em relação ao tempo . Dado que:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Agora, substituímos essa derivada na equação de Maxwell-Ampère modificada:
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar , precisamos calcular o rotacional de . Sabendo que também depende de e , e considerando que o campo elétrico está na direção , podemos assumir que o campo magnético estará na direção . Portanto, podemos escrever:
O rotacional de em coordenadas cartesianas é:
Como está apenas na direção e não depende de nem , o rotacional simplifica para:

Passo 6

Igualando as duas expressões para :
Podemos cancelar os sinais negativos e isolamos a derivada:

Passo 7

Para encontrar , precisamos integrar a expressão acima em relação a :
Onde é a constante de integração. Como o campo magnético deve ser finito e periódica, podemos considerar .
Integrando:

Resposta

O campo magnético é dado por:

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