Um campo elétrico no vácuo, que depende da coordenada x e do tempo t, aponta na direção y e é dado pela a seguinte expressão E(x, t)=A cos (kx+omega t-de, onde A, k, omega e de são constantes. Partindo das equações de Maxwell, determinar o campo magnético B sabendo que este depende de x e t e das constantes do enunciado acima.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo elétrico no vácuo que varia com a coordenada E(x, t) = A cos(kx + omega t - de e com o tempo . Esse campo elétrico está na direção e é dado por:
Queremos determinar o campo magnético correspondente, usando as equações de Maxwell. Para isso, precisamos lembrar das equações de Maxwell que relacionam os campos elétrico e magnético.

Passo 2

As equações de Maxwell são um conjunto de quatro equações fundamentais que descrevem como os campos elétrico e magnético se comportam e interagem. Para esse problema, vamos utilizar a equação de Maxwell-Ampère modificada, que relaciona o campo magnético com o campo elétrico em regiões onde não há cargas livres nem correntes:
nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t
Aqui, é a permeabilidade do vácuo e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Primeiro, precisamos calcular a derivada parcial de E(x, t) = A cos(kx + omega t - de em relação ao tempo partial Epartial t = -A omega sin(kx + omega t - de. Dado que:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Agora, substituímos essa derivada na equação de Maxwell-Ampère modificada:
nabla times B = mu0 epsilon0 ( -A omega sin(kx + omega t - de
Simplificando:
nabla times B = -mu0 epsilon0 A omega sin(kx + omega t - de

Passo 5

Para encontrar B(x, t) = Bz(x, t) z , precisamos calcular o rotacional de nabla times B = ( partial Bzpartial y - partial Bypartial z ) x + ( partial Bxpartial z - partial Bzpartial x ) y + ( partial Bypartial x - partial Bxpartial y ) z . Sabendo que nabla times B = -partial Bzpartial x y também depende de e , e considerando que o campo elétrico está na direção , podemos assumir que o campo magnético estará na direção . Portanto, podemos escrever:
O rotacional de em coordenadas cartesianas é:
Como está apenas na direção e não depende de nem , o rotacional simplifica para:

Passo 6

Igualando as duas expressões para -partial Bzpartial x y = -mu0 epsilon0 A omega sin(kx + omega t - de:
partial Bzpartial x = mu0 epsilon0 A omega sin(kx + omega t - de
Podemos cancelar os sinais negativos e isolamos a derivada:

Passo 7

Para encontrar Bz(x, t) = integral mu0 epsilon0 A omega sin(kx + omega t - de, precisamos integrar a expressão acima em relação a Bz(x, t) = -mu0 epsilon0 A omegak cos(kx + omega t - de:
Onde é a constante de integração. Como o campo magnético deve ser finito e periódica, podemos considerar .
Integrando:

Resposta

O campo magnético é dado por:
B(x, t) = -mu0 epsilon0 A omegak cos(kx + omega t - de

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