Um campo elétrico no vácuo, que depende da coordenada
e do tempo
, aponta na direção
e é dado pela a seguinte expressão
, onde
,
e
são constantes. Partindo das equações de Maxwell, determinar o campo magnético
sabendo que este depende de
e t e das constantes do enunciado acima.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo elétrico no vácuo que varia com a coordenada
e com o tempo
. Esse campo elétrico está na direção
e é dado por:
Queremos determinar o campo magnético
correspondente, usando as equações de Maxwell. Para isso, precisamos lembrar das equações de Maxwell que relacionam os campos elétrico e magnético.
Passo 2
As equações de Maxwell são um conjunto de quatro equações fundamentais que descrevem como os campos elétrico e magnético se comportam e interagem. Para esse problema, vamos utilizar a equação de Maxwell-Ampère modificada, que relaciona o campo magnético com o campo elétrico em regiões onde não há cargas livres nem correntes:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Primeiro, precisamos calcular a derivada parcial de
em relação ao tempo
. Dado que:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, substituímos essa derivada na equação de Maxwell-Ampère modificada:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar
, precisamos calcular o rotacional de
. Sabendo que
também depende de
e
, e considerando que o campo elétrico está na direção
, podemos assumir que o campo magnético estará na direção
. Portanto, podemos escrever:
O rotacional de
em coordenadas cartesianas é:
Como
está apenas na direção
e não depende de
nem
, o rotacional simplifica para:
Passo 6
Igualando as duas expressões para
:
Podemos cancelar os sinais negativos e isolamos a derivada:
Passo 7
Para encontrar
, precisamos integrar a expressão acima em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Como o campo magnético deve ser finito e periódica, podemos considerar
.
Integrando:
Resposta
O campo magnético é dado por:
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