Considere uma espaçonave percorrendo uma órbita elíptica em torno da Terra. Em seu ponto inferior, ou perigeu de sua órbita, ela está a uma altura de 400 km acima da superfície terrestre; em seu ponto superior, ou apogeu de sua órbita, ela está a uma altura de 4000 km acima da superfície terrestre,
b) Usando a conservação do momento angular, ache a razão entre a velocidade no perigeu e a velocidade no apogeu.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre órbitas elípticas! A situação é a seguinte: uma espaçonave está girando em torno da Terra numa órbita que não é circular, mas elíptica. No ponto mais baixo da órbita, chamado perigeu, ela está a 400 km acima da Terra. No ponto mais alto, o apogeu, ela está a 4000 km acima da Terra. A gente vai usar a conservação do momento angular para encontrar a razão entre a velocidade no perigeu e no apogeu. Para isso, precisamos entender um pouco de mecânica orbital e como o momento angular se comporta em órbitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento angular. No contexto de órbitas, o momento angular ( L = m cdot v cdot r ) de um objeto é dado por:
onde:
  • é a massa da espaçonave,
  • é a velocidade,
  • é a distância do centro da Terra até a espaçonave.
Como estamos falando de órbita, assumimos que o movimento está em um plano, então o momento angular é constante se não houver torque externo, ou seja, ele é conservado.

Passo 3

Como o momento angular é conservado, podemos igualar o momento angular no perigeu ( Lp = La ) ao do apogeu ( m cdot vp cdot rp = m cdot va cdot ra ):
vp cdot rp = va cdot ra
Substituindo a fórmula do momento angular:
A massa da espaçonave ( ) é a mesma nos dois pontos, então podemos simplificar:

Passo 4

Agora, queremos encontrar a razão entre a velocidade no perigeu e no apogeu, ou seja, vpva = rarp . Vamos isolar essa razão na equação:

Passo 5

Precisamos calcular as distâncias rp = RE + hp = 6371 + 400 = 6771 , km e ra = RE + ha = 6371 + 4000 = 10371 , km . Essas distâncias são dadas pela soma do raio da Terra ( ) com a altura da espaçonave em cada ponto.
Sabemos que:
  • Raio da Terra,
  • Altura no perigeu,
  • Altura no apogeu,
Calculando as distâncias:

Passo 6

Agora, substituímos vpva = 103716771 approx 1,53 e na razão que encontramos:

Resposta

A razão entre a velocidade no perigeu e a velocidade no apogeu é aproximadamente 1,53.

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