Considere uma espaçonave percorrendo uma órbita elíptica em torno da Terra. Em seu ponto inferior, ou perigeu de sua órbita, ela está a uma altura de 400 km acima da superfície terrestre; em seu ponto superior, ou apogeu de sua órbita, ela está a uma altura de 4000 km acima da superfície terrestre,
b) Usando a conservação do momento angular, ache a razão entre a velocidade no perigeu e a velocidade no apogeu.
b) Usando a conservação do momento angular, ache a razão entre a velocidade no perigeu e a velocidade no apogeu.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre órbitas elípticas! A situação é a seguinte: uma espaçonave está girando em torno da Terra numa órbita que não é circular, mas elíptica. No ponto mais baixo da órbita, chamado perigeu, ela está a 400 km acima da Terra. No ponto mais alto, o apogeu, ela está a 4000 km acima da Terra. A gente vai usar a conservação do momento angular para encontrar a razão entre a velocidade no perigeu e no apogeu. Para isso, precisamos entender um pouco de mecânica orbital e como o momento angular se comporta em órbitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento angular. No contexto de órbitas, o momento angular (
) de um objeto é dado por:
onde:
-
é a massa da espaçonave, -
é a velocidade, -
é a distância do centro da Terra até a espaçonave.
Como estamos falando de órbita, assumimos que o movimento está em um plano, então o momento angular é constante se não houver torque externo, ou seja, ele é conservado.
Passo 3
Como o momento angular é conservado, podemos igualar o momento angular no perigeu (
) ao do apogeu (
):
Substituindo a fórmula do momento angular:
A massa da espaçonave (
) é a mesma nos dois pontos, então podemos simplificar:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a razão entre a velocidade no perigeu e no apogeu, ou seja,
. Vamos isolar essa razão na equação:
Passo 5
Precisamos calcular as distâncias
e
. Essas distâncias são dadas pela soma do raio da Terra (
) com a altura da espaçonave em cada ponto.
Sabemos que:
- Raio da Terra,
- Altura no perigeu,
- Altura no apogeu,
Calculando as distâncias:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na razão que encontramos:
Resposta
A razão entre a velocidade no perigeu e a velocidade no apogeu é aproximadamente 1,53.