Considere uma espaçonave percorrendo uma órbita elíptica em torno da Terra. Em seu ponto inferior, ou perigeu de sua órbita, ela está a uma altura de 400 km acima da superfície terrestre; em seu ponto superior, ou apogeu de sua órbita, ela está a uma altura de 4000 km acima da superfície terrestre,
a) Qual é o período da órbita da espaçonave?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre uma espaçonave que está fazendo uma órbita elíptica ao redor da Terra. No ponto mais próximo da Terra (perigeu), ela está a 400 km acima da superfície, e no ponto mais distante (apogeu), está a 4000 km acima. A pergunta é: Qual é o período da órbita da espaçonave?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Mecânica Orbital, especificamente a Lei de Kepler que relaciona o período orbital com o tamanho da órbita. Precisamos entender alguns passos básicos sobre órbitas elípticas e como calcular o período usando a fórmula adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Terra tem um raio aproximado de 6371 km. Isso é importante porque as alturas mencionadas (400 km e 4000 km) são acima da superfície da Terra. Para encontrar a distância do centro da Terra até a espaçonave nos pontos de perigeu e apogeu, somamos o raio da Terra com as alturas:
  • Perigeu: 6371 km + 400 km = 6771 km
  • Apogeu: 6371 km + 4000 km = 10371 km

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o semi-eixo maior (a) da órbita elíptica, que é a média das distâncias no perigeu e apogeu:
a = Peri>=u + Apo>=u2 = 6771, km + 10371, km2 = 8561, km

Passo 4

Para encontrar o período orbital (T), usamos a Terceira Lei de Kepler, que relaciona o período com o semi-eixo maior da órbita:
T = 2pi raiza^3mu
Onde:
  • é o período orbital,
  • é o semi-eixo maior,
  • é a constante gravitacional padrão da Terra, aproximadamente 398600 km³/s².

Passo 5

Vamos inserir os valores na fórmula:
T = 2pi raiz8561^3398600
Primeiro, calculamos 8561^3 = 8561 times 8561 times 8561 approx 6.26 times 10^11, km^3 :
6.26 times 10^11398600 approx 1.57 times 10^6, s^2
Depois, dividimos por raiz1.57 times 10^6 approx 1252, s :
T = 2pi times 1252 approx 7872, s
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Finalmente, multiplicamos por :

Passo 6

Convertendo o período de segundos para minutos:
7872, s60 approx 131,2, minutos

Resposta

O período da órbita da espaçonave é aproximadamente 131 minutos.

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