Considere uma espaçonave percorrendo uma órbita elíptica em torno da Terra. Em seu ponto inferior, ou perigeu de sua órbita, ela está a uma altura de 400 km acima da superfície terrestre; em seu ponto superior, ou apogeu de sua órbita, ela está a uma altura de 4000 km acima da superfície terrestre,
a) Qual é o período da órbita da espaçonave?
a) Qual é o período da órbita da espaçonave?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre uma espaçonave que está fazendo uma órbita elíptica ao redor da Terra. No ponto mais próximo da Terra (perigeu), ela está a 400 km acima da superfície, e no ponto mais distante (apogeu), está a 4000 km acima. A pergunta é: Qual é o período da órbita da espaçonave?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Mecânica Orbital, especificamente a Lei de Kepler que relaciona o período orbital com o tamanho da órbita. Precisamos entender alguns passos básicos sobre órbitas elípticas e como calcular o período usando a fórmula adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Terra tem um raio aproximado de 6371 km. Isso é importante porque as alturas mencionadas (400 km e 4000 km) são acima da superfície da Terra. Para encontrar a distância do centro da Terra até a espaçonave nos pontos de perigeu e apogeu, somamos o raio da Terra com as alturas:
- Perigeu: 6371 km + 400 km = 6771 km
- Apogeu: 6371 km + 4000 km = 10371 km
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o semi-eixo maior (a) da órbita elíptica, que é a média das distâncias no perigeu e apogeu:
Passo 4
Para encontrar o período orbital (T), usamos a Terceira Lei de Kepler, que relaciona o período com o semi-eixo maior da órbita:
Onde:
-
é o período orbital, -
é o semi-eixo maior, -
é a constante gravitacional padrão da Terra, aproximadamente 398600 km³/s².
Passo 5
Vamos inserir os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos
:
Depois, dividimos por
:
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Finalmente, multiplicamos por
:
Passo 6
Convertendo o período de segundos para minutos:
Resposta
O período da órbita da espaçonave é aproximadamente 131 minutos.