Um capacitor esférico possui placas esféricas com raios r1=R e r2=2 R. O expaço entre as placas epsilon preenchido por tres tipos de dielétricos com permissividades varepsilon1, varepsilon2 e varepsilon3. Os dielétricos ocupam regióes entre as placas do capacitor R <= r <= 2 R e 0 <= phi <= 2 pi e diferenciam apenas pelo angulo theta :
  • dielétrico com varepsilon1: 0 <= theta <= pi4
  • dielétrico com varepsilon2: pi4 <= theta <= 2 pi3
  • dielétrico com epsilon3: 2 pi3 <= theta <= pi
    Caclule capacitancia deste capacitor C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um capacitor esférico com duas placas: uma menor com raio e uma maior com raio . Entre essas placas, há três tipos de materiais dielétricos diferentes, cada um ocupando uma faixa específica do ângulo . Nosso objetivo é calcular a capacitância desse capacitor.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar alguns conceitos básicos sobre capacitores, dielétricos e como eles afetam a capacitância. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é capacitância. A capacitância C = 4pivarepsilon R1 R2R2 - R1 de um capacitor mede a sua capacidade de armazenar carga elétrica. Para um capacitor esférico com um dielétrico uniforme, a fórmula padrão é:
Aqui, é a permissividade do material entre as placas, e são os raios das duas esferas.
No nosso caso, porém, o dielétrico não é uniforme. Temos três materiais diferentes, cada um ocupando uma faixa específica de . Isso significa que teremos que considerar separadamente cada região e depois combinar os resultados.

Passo 3

Vamos dividir o espaço entre as duas esferas em três regiões, de acordo com os diferentes dielétricos:
  1. Região 1: com permissividade
  2. Região 2: com permissividade
  3. Região 3: com permissividade
Cada uma dessas regiões pode ser vista como um capacitor em paralelo, já que todas compartilham a mesma diferença de potencial entre as placas.

Passo 4

Para capacitores em paralelo, a capacitância total é a soma das capacitâncias individuais. Porém, como o dielétrico varia com dC = 4pivarepsilon(theta) R^22R sintheta dtheta = 2pivarepsilon(theta) R sintheta dtheta , precisamos calcular a capacitância de cada região usando a fórmula de capacitância para um capacitor esférico, adaptada para uma fatia angular.
A capacitância de uma pequena fatia angular é:
Aqui, usamos e .

Passo 5

Agora, vamos integrar C = integral0^pi4 2pivarepsilon1 R sintheta dtheta + integralpi4^2pi3 2pivarepsilon2 R sintheta dtheta + integral2pi3^pi 2pivarepsilon3 R sintheta dtheta sobre cada intervalo de correspondente a cada material dielétrico:

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente:
  1. Primeira integral:
2pivarepsilon1 R integral0^pi4 sintheta dtheta = 2pivarepsilon1 R [-costheta]0^pi4 = 2pivarepsilon1 R (1 - raiz22)
  1. Segunda integral:
2pivarepsilon2 R integralpi4^2pi3 sintheta dtheta = 2pivarepsilon2 R [-costheta]pi4^2pi3 = 2pivarepsilon2 R (raiz22 - (-12)) = 2pivarepsilon2 R (raiz22 + 12)
  1. Terceira integral:
2pivarepsilon3 R integral2pi3^pi sintheta dtheta = 2pivarepsilon3 R [-costheta]2pi3^pi = 2pivarepsilon3 R (-(-1) - (-12)) = 2pivarepsilon3 R (1 + 12) = 2pivarepsilon3 R cdot 32 = 3pivarepsilon3 R

Passo 7

Agora, somamos todas essas contribuições para obter a capacitância total:
C = 2pi R [ varepsilon1 (1 - raiz22) + varepsilon2 (raiz22 + 12) + 32varepsilon3 ]

Resposta

A capacitância total do capacitor esférico é:
C = 2pi R [ varepsilon1 (1 - raiz22) + varepsilon2 (raiz22 + 12) + 32varepsilon3 ]

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