Um capacitor esférico possui placas esféricas com raios
e
. O expaço entre as placas
preenchido por tres tipos de dielétricos com permissividades
e
. Os dielétricos ocupam regióes entre as placas do capacitor
e
e diferenciam apenas pelo angulo
:
- dielétrico com
- dielétrico com
- dielétrico com
Caclule capacitancia deste capacitor
.
Caclule capacitancia deste capacitor
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um capacitor esférico com duas placas: uma menor com raio
e uma maior com raio
. Entre essas placas, há três tipos de materiais dielétricos diferentes, cada um ocupando uma faixa específica do ângulo
. Nosso objetivo é calcular a capacitância
desse capacitor.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar alguns conceitos básicos sobre capacitores, dielétricos e como eles afetam a capacitância. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é capacitância. A capacitância
de um capacitor mede a sua capacidade de armazenar carga elétrica. Para um capacitor esférico com um dielétrico uniforme, a fórmula padrão é:
Aqui,
é a permissividade do material entre as placas,
e
são os raios das duas esferas.
No nosso caso, porém, o dielétrico não é uniforme. Temos três materiais diferentes, cada um ocupando uma faixa específica de
. Isso significa que teremos que considerar separadamente cada região e depois combinar os resultados.
Passo 3
Vamos dividir o espaço entre as duas esferas em três regiões, de acordo com os diferentes dielétricos:
- Região 1:
com permissividade - Região 2:
com permissividade - Região 3:
com permissividade
Cada uma dessas regiões pode ser vista como um capacitor em paralelo, já que todas compartilham a mesma diferença de potencial entre as placas.
Passo 4
Para capacitores em paralelo, a capacitância total é a soma das capacitâncias individuais. Porém, como o dielétrico varia com
, precisamos calcular a capacitância de cada região usando a fórmula de capacitância para um capacitor esférico, adaptada para uma fatia angular.
A capacitância de uma pequena fatia angular
é:
Aqui, usamos
e
.
Passo 5
Agora, vamos integrar
sobre cada intervalo de
correspondente a cada material dielétrico:
Passo 6
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente:
- Primeira integral:
- Segunda integral:
- Terceira integral:
Passo 7
Agora, somamos todas essas contribuições para obter a capacitância total:
Resposta
A capacitância total do capacitor esférico é:
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