Um campo de escoamento é dado por:
d) Qual a aceleração de uma partícula em
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de escoamento dado por:
Nosso objetivo aqui é encontrar a aceleração de uma partícula no ponto
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de aceleração em campos de escoamento, que envolve derivadas parciais da velocidade em relação ao tempo e ao espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração
em um campo de escoamento é dada por:
Aqui,
é a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo, e
é o termo convectivo que envolve as derivadas espaciais da velocidade.
Passo 3
Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo:
Porque
não depende do tempo, sua derivada em relação a
é zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular o termo convectivo
. Primeiro, precisamos encontrar o operador nabla
aplicado a
:
Então,
Agora, aplicamos isso à velocidade
:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Agora, substituindo de volta:
Passo 5
Agora que temos os dois termos, vamos somá-los para encontrar a aceleração
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores
,
e
na expressão da aceleração:
Calculando cada parte:
Somando:
Resposta
A aceleração da partícula no ponto
é: