Um campo de escoamento é dado por:
V(x, y, t)=2 x^2 imath+4 x y t jmath
d) Qual a aceleração de uma partícula em (1,3,2) ? (0,75 pt)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de escoamento dado por:
V(x, y, t) = 2x^2 imath + 4x y t jmath
Nosso objetivo aqui é encontrar a aceleração de uma partícula no ponto . Para isso, vamos precisar usar o conceito de aceleração em campos de escoamento, que envolve derivadas parciais da velocidade em relação ao tempo e ao espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração a = partial Vpartial t + (V cdot nabla)V em um campo de escoamento é dada por:
Aqui, é a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo, e é o termo convectivo que envolve as derivadas espaciais da velocidade.

Passo 3

Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo:
partial Vpartial t = partialpartial t (2x^2 imath + 4x y t jmath) = 0 imath + 4x y jmath
Porque não depende do tempo, sua derivada em relação a é zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular o termo convectivo nabla = imath partialpartial x + jmath partialpartial y . Primeiro, precisamos encontrar o operador nabla V cdot nabla = (2x^2) partialpartial x + (4x y t) partialpartial y aplicado a (V cdot nabla)V = 2x^2 partial Vpartial x + 4x y t partial Vpartial y :
partial Vpartial x = partialpartial x (2x^2 imath + 4x y t jmath) = 4x imath + 4y t jmath
Então,
partial Vpartial y = partialpartial y (2x^2 imath + 4x y t jmath) = 0 imath + 4x t jmath
Agora, aplicamos isso à velocidade (V cdot nabla)V = 2x^2 (4x imath + 4y t jmath) + 4x y t (0 imath + 4x t jmath) = 8x^3 imath + (8x^2y t + 16x^2 y t^2) jmath :
Vamos calcular cada derivada parcial:
Agora, substituindo de volta:

Passo 5

Agora que temos os dois termos, vamos somá-los para encontrar a aceleração a = partial Vpartial t + (V cdot nabla)V = 0 imath + 4x y jmath + 8x^3 imath + 8x^2y t jmath + 16x^2 y t^2 jmath :
a = 8x^3 imath + (4x y + 8x^2y t + 16x^2 y t^2) jmath
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores a = 8(1)^3 imath + (4(1)(3) + 8(1)^2(3)(2) + 16(1)^2(3)(2)^2) jmath , 8(1)^3 = 8 e 4(1)(3) = 12 na expressão da aceleração:
8(1)^2(3)(2) = 48
Calculando cada parte:
16(1)^2(3)(4) = 192
a = 8 imath + (12 + 48 + 192) jmath = 8 imath + 252 jmath
Somando:

Resposta

A aceleração da partícula no ponto a = 8 imath + 252 jmath é:

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