Um campo de escoamento é dado por:
V(x, y, t)=2 x^2 imath+4 x y t jmath
c) Qual o vetor aceleração? ( 0,75 pt)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o vetor aceleração em um campo de escoamento. O conteúdo envolvido aqui é a dinâmica dos fluidos, especificamente o cálculo do vetor aceleração a partir do campo de velocidade fornecido. Para isso, vamos precisar usar o operador derivada material, que envolve derivadas parciais em relação ao tempo e ao espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo de velocidade dado:
V(x, y, t) = 2x^2 imath + 4x y t jmath
Aqui, e .

Passo 3

O vetor aceleração é dado pela derivada material da velocidade:
a = partial Vpartial t + (V cdot nabla)V
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculemos a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo:
partial Vpartial t = partialpartial t (2x^2 imath + 4x y t jmath) = 0 imath + 4x y jmath

Passo 5

Agora, vamos calcular o termo partial Vxpartial x = 4x, partial Vxpartial y = 0 . Primeiro, encontramos as derivadas espaciais:
partial Vypartial x = 4y t, partial Vypartial y = 4x t
(V cdot nabla)V = Vx partial Vpartial x + Vy partial Vpartial y = 2x^2(4x imath + 4y t jmath) + 4x y t (0 imath + 4x t jmath)
Então,

Passo 6

Simplificando os termos:
= 8x^3 imath + 8x^2 y t jmath + 0 imath + 16x y t^2 jmath
= 8x^3 imath + (8x^2 y t + 16x y t^2) jmath

Passo 7

Agora, somamos os dois termos para obter o vetor aceleração:
a = 0 imath + 4x y jmath + 8x^3 imath + (8x^2 y t + 16x y t^2) jmath
= 8x^3 imath + (4x y + 8x^2 y t + 16x y t^2) jmath

Resposta

O vetor aceleração é:
a = 8x^3 imath + (4x y + 8x^2 y t + 16x y t^2) jmath

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Um campo de escoamento é dado por:
V(x, y, t)=2 x^2 imath+4 x y t jmath
d) Qual a aceleração de uma partícula em (1,3,2) ? (0,75 pt)