Campo magnético criado por um disco em rotação. Um disco circular de raio a e espessura desprezível está uniformemente carregado com densidade superficial de carga sigma e gira em torno do seu eixo com velocidade angular omega. Calcule:
(a) O vetor campo magnético em um ponto P no eixo do disco a uma distância z do centro do disco. Verifique o caso particular no centro do disco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um disco circular que está girando e está carregado de forma uniforme. Nosso objetivo aqui é calcular o vetor campo magnético num ponto específico, chamado ponto , que está no eixo do disco a uma distância do centro. Além disso, vamos conferir o que acontece exatamente no centro do disco. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade e magnetismo, especialmente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a determinar campos magnéticos gerados por correntes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando o disco está girando, as cargas elétricas nele geradas estão se movendo, o que cria uma corrente elétrica. Essa corrente é essencial para gerar o campo magnético. A densidade superficial de carga nos diz quanta carga existe por unidade de área no disco, e a velocidade angular indica o quão rápido o disco está girando.

Passo 3

Vamos calcular a corrente elétrica dI = dqdt = sigma , v , dA / (2pi r / v) ) = sigma , omega , r , (2pi r , dr) / (2pi r / omega) ) = sigma , omega , r^2 , dr gerada pelo disco em rotação. Para isso, consideramos que cada pequena área do disco possui uma quantidade de carga e está se movendo com uma velocidade , onde é a distância do ponto ao eixo de rotação.
A corrente elétrica é definida como a carga que passa por um ponto por unidade de tempo. Como a carga está em movimento circular, a corrente gerada por um anel de raio e espessura pode ser expressa como:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a corrente dB = mu02 dI , r^2(r^2 + z^2)^3/2 de um anel no disco, vamos usar a Lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético gerado por esse anel no ponto .
A Lei de Biot-Savart para um anel circular é dada por:
Onde:
  • é a permeabilidade do vácuo,
  • é a corrente do anel,
  • é o raio do anel,
  • é a distância do ponto ao plano do disco.

Passo 5

Substituindo dB = mu02 sigma , omega , r^2 , dr , r^2(r^2 + z^2)^3/2 = mu0 sigma omega2 r^4 , dr(r^2 + z^2)^3/2 na expressão de :

Passo 6

Para encontrar o campo magnético total B = integral0^a mu0 sigma omega2 r^4(r^2 + z^2)^3/2 , dr no ponto , precisamos integrar de até , que é o raio do disco:

Passo 7

Vamos resolver essa integral. Vamos fazer uma substituição para simplificar:
Deixe B = mu0 sigma omega2 integralz^2^a^2 + z^2 (u - z^2)^2u^3/2 cdot du2 , então B = mu0 sigma omega4 integralz^2^a^2 + z^2 u^2 - 2u z^2 + z^4u^3/2 , du ou B = mu0 sigma omega4 ( integralz^2^a^2 + z^2 u^1/2 , du - 2 z^2 integralz^2^a^2 + z^2 u^-1/2 , du + z^4 integralz^2^a^2 + z^2 u^-3/2 , du ) . Substituindo na integral:
B = mu0 sigma omega4 ( 23 [ (a^2 + z^2)^3/2 - z^3 ] - 2 z^2 [ 2 (a^2 + z^2)^1/2 - 2 z ] + z^4 [ -2 (a^2 + z^2)^-1/2 + 2 z^-1 ] )
Simplificando:
B = mu0 sigma omega4 ( 23 ( (a^2 + z^2)^3/2 - z^3 ) - 4 z^2 ( (a^2 + z^2)^1/2 - z ) - 2 z^4 ( (a^2 + z^2)^-1/2 - 1z ) )
Isso pode ser dividido em três integrais:
Calculando cada uma:
Aplicando os limites:
Após simplificação, chega-se à expressão final do campo magnético no ponto :

Resposta

Após simplificar, o vetor campo magnético no ponto B = mu0 sigma omega4 ( 23 ( (a^2 + z^2)^3/2 - z^3 ) - 4 z^2 ( raiza^2 + z^2 - z ) - 2 z^4 ( 1raiza^2 + z^2 - 1z ) ) no eixo do disco a uma distância B = mu0 sigma omega a^24 do centro é dado por:
No caso particular em que (ou seja, no centro do disco), o campo magnético simplifica para:

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