Campo magnético criado por um disco em rotação. Um disco circular de raio a e espessura desprezível está uniformemente carregado com densidade superficial de carga e gira em torno do seu eixo com velocidade angular . Calcule:
(a) O vetor campo magnético em um ponto no eixo do disco a uma distância z do centro do disco. Verifique o caso particular no centro do disco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um disco circular que está girando e está carregado de forma uniforme. Nosso objetivo aqui é calcular o vetor campo magnético num ponto específico, chamado ponto , que está no eixo do disco a uma distância do centro. Além disso, vamos conferir o que acontece exatamente no centro do disco. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade e magnetismo, especialmente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a determinar campos magnéticos gerados por correntes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando o disco está girando, as cargas elétricas nele geradas estão se movendo, o que cria uma corrente elétrica. Essa corrente é essencial para gerar o campo magnético. A densidade superficial de carga nos diz quanta carga existe por unidade de área no disco, e a velocidade angular indica o quão rápido o disco está girando.

Passo 3

Vamos calcular a corrente elétrica gerada pelo disco em rotação. Para isso, consideramos que cada pequena área do disco possui uma quantidade de carga e está se movendo com uma velocidade , onde é a distância do ponto ao eixo de rotação.
A corrente elétrica é definida como a carga que passa por um ponto por unidade de tempo. Como a carga está em movimento circular, a corrente gerada por um anel de raio e espessura pode ser expressa como:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a corrente de um anel no disco, vamos usar a Lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético gerado por esse anel no ponto .
A Lei de Biot-Savart para um anel circular é dada por:
Onde:
  • é a permeabilidade do vácuo,
  • é a corrente do anel,
  • é o raio do anel,
  • é a distância do ponto ao plano do disco.

Passo 5

Substituindo na expressão de :

Passo 6

Para encontrar o campo magnético total no ponto , precisamos integrar de até , que é o raio do disco:

Passo 7

Vamos resolver essa integral. Vamos fazer uma substituição para simplificar:
Deixe , então ou . Substituindo na integral:
Simplificando:
Isso pode ser dividido em três integrais:
Calculando cada uma:
Aplicando os limites:
Após simplificação, chega-se à expressão final do campo magnético no ponto :

Resposta

Após simplificar, o vetor campo magnético no ponto no eixo do disco a uma distância do centro é dado por:
No caso particular em que (ou seja, no centro do disco), o campo magnético simplifica para:

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