Campo magnético criado por um disco em rotação. Um disco circular de raio a e espessura desprezível está uniformemente carregado com densidade superficial de carga
e gira em torno do seu eixo com velocidade angular
. Calcule:
(a) O vetor campo magnético em um ponto
no eixo do disco a uma distância z do centro do disco. Verifique o caso particular no centro do disco.
(a) O vetor campo magnético em um ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um disco circular que está girando e está carregado de forma uniforme. Nosso objetivo aqui é calcular o vetor campo magnético num ponto específico, chamado ponto
, que está no eixo do disco a uma distância
do centro. Além disso, vamos conferir o que acontece exatamente no centro do disco. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade e magnetismo, especialmente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a determinar campos magnéticos gerados por correntes.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que quando o disco está girando, as cargas elétricas nele geradas estão se movendo, o que cria uma corrente elétrica. Essa corrente é essencial para gerar o campo magnético. A densidade superficial de carga
nos diz quanta carga existe por unidade de área no disco, e a velocidade angular
indica o quão rápido o disco está girando.
Passo 3
Vamos calcular a corrente elétrica
gerada pelo disco em rotação. Para isso, consideramos que cada pequena área
do disco possui uma quantidade de carga
e está se movendo com uma velocidade
, onde
é a distância do ponto
ao eixo de rotação.
A corrente elétrica é definida como a carga que passa por um ponto por unidade de tempo. Como a carga está em movimento circular, a corrente gerada por um anel de raio
e espessura
pode ser expressa como:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a corrente
de um anel no disco, vamos usar a Lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético
gerado por esse anel no ponto
.
A Lei de Biot-Savart para um anel circular é dada por:
Onde:
-
é a permeabilidade do vácuo, -
é a corrente do anel, -
é o raio do anel, -
é a distância do ponto ao plano do disco.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Passo 6
Para encontrar o campo magnético total
no ponto
, precisamos integrar
de
até
, que é o raio do disco:
Passo 7
Vamos resolver essa integral. Vamos fazer uma substituição para simplificar:
Deixe
, então
ou
. Substituindo na integral:
Simplificando:
Isso pode ser dividido em três integrais:
Calculando cada uma:
Aplicando os limites:
Após simplificação, chega-se à expressão final do campo magnético
no ponto
:
Resposta
Após simplificar, o vetor campo magnético no ponto
no eixo do disco a uma distância
do centro é dado por:
No caso particular em que
(ou seja, no centro do disco), o campo magnético simplifica para: