Um cilindro de raio contém um campo magnético uniforme paralelo ao eixo do cilindro. O campo é zero do lado de fora do cilindro. Se o módulo do campo magnético está variando a uma taxa , qual é o campo elétrico induzido em um ponto a uma distância do eixo do cilindro?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro com raio que contém um campo magnético uniforme paralelo ao eixo do cilindro. Esse campo magnético está mudando ao longo do tempo com uma taxa de . Queremos descobrir qual é o campo elétrico induzido em um ponto que está a metade do raio do cilindro, ou seja, a do eixo. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, que relaciona a variação do campo magnético com o campo elétrico induzido.

Passo 2

A Lei de Faraday nos diz que uma variação no fluxo magnético através de uma superfície induz um campo elétrico ao longo do contorno dessa superfície. Matematicamente, isso é expresso por:
Onde:
  • é a integral do campo elétrico ao longo de um caminho fechado.
  • é o fluxo magnético através da superfície delimitada por esse caminho.

Passo 3

Vamos escolher um caminho circular centrado no eixo do cilindro e com raio . Como o campo elétrico induzido é simétrico e tangencial ao círculo, podemos simplificar a integral:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o fluxo magnético . Dentro do cilindro, o campo magnético é uniforme e paralelo ao eixo. O fluxo é dado por:
Onde é a área da superfície. Como estamos considerando um raio , a área será:

Passo 5

A taxa de variação do fluxo magnético é:
Substituindo os valores dados:

Passo 6

Aplicando a Lei de Faraday:
Resolvendo para :

Resposta

O campo elétrico induzido a uma distância do eixo do cilindro é .

Exercícios relacionados

Campo magnético criado por um disco em rotação. Um disco circular de raio a e espessura desprezível está uniformemente carregado com densidade superficial de carga e gira em torno do seu eixo com velocidade angular . Calcule:
(a) O vetor campo magnético em um ponto no eixo do disco a uma distância z do centro do disco. Verifique o caso particular no centro do disco.
Um solenoide com uma indutância de é ligado em série com um resistor de . (a) Se uma bateria de é ligada entre os terminais do conjunto, quanto tempo é necessário para que a corrente no resistor atinja do valor final? (b) Qual é a corrente no resistor no instante t ?
No vácuo, em confronto com as ondas de luz, as de raios têm:
a) Menor comprimento de onda
b) maior velocidade
c) menor velocidade
d) maior comprimento de onda
e) igual frequência
Desde que a amplitude seja suficientemente grande. O ouvido humano pode detectar ondas longitudinais no intervalo aproximado entre 20 Hz e 20000 Hz . Calcule o comprimento de onda correspondente a estas frequências a) para ondas no ar (v ): b) para ondas na água