Um cilindro de raio R=2,0 cm contém um campo magnético uniforme paralelo ao eixo do cilindro. O campo é zero do lado de fora do cilindro. Se o módulo do campo magnético está variando a uma taxa dB / dt=1.0 T / s, qual é o campo elétrico induzido em um ponto a uma distância R / 2 do eixo do cilindro?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro com raio que contém um campo magnético uniforme paralelo ao eixo do cilindro. Esse campo magnético está mudando ao longo do tempo com uma taxa de . Queremos descobrir qual é o campo elétrico induzido em um ponto que está a metade do raio do cilindro, ou seja, a do eixo. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, que relaciona a variação do campo magnético com o campo elétrico induzido.

Passo 2

A Lei de Faraday nos diz que uma variação no fluxo magnético através de uma superfície induz um campo elétrico ao longo do contorno dessa superfície. Matematicamente, isso é expresso por:
oint E cdot dl = -dPhiBdt
Onde:
  • é a integral do campo elétrico ao longo de um caminho fechado.
  • é o fluxo magnético através da superfície delimitada por esse caminho.

Passo 3

Vamos escolher um caminho circular centrado no eixo do cilindro e com raio oint E cdot dl = E cdot 2pi r . Como o campo elétrico induzido é simétrico e tangencial ao círculo, podemos simplificar a integral:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o fluxo magnético PhiB = B cdot A . Dentro do cilindro, o campo magnético é uniforme e paralelo ao eixo. O fluxo é dado por:
A = pi r^2 = pi (R2)^2 = pi R^24
Onde é a área da superfície. Como estamos considerando um raio , a área será:

Passo 5

A taxa de variação do fluxo magnético é:
dPhiBdt = dBdt cdot A = dBdt cdot pi R^24
Substituindo os valores dados:
dPhiBdt = 1,0 , T/s cdot pi (0,02 , m)^24 = 1,0 cdot pi cdot 0,00044 = 0,0016pi4 = 0,0004pi , Wb/s

Passo 6

Aplicando a Lei de Faraday:
E cdot 2pi r = -dPhiBdt
Resolvendo para E = -dPhiBdt2pi r = -0,0004pi2pi cdot 0,01 = -0,00040,02 = -0,02 , V/m :

Resposta

O campo elétrico induzido a uma distância do eixo do cilindro é .

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