Um solenoide com uma indutância de é ligado em série com um resistor de . (a) Se uma bateria de é ligada entre os terminais do conjunto, quanto tempo é necessário para que a corrente no resistor atinja do valor final? (b) Qual é a corrente no resistor no instante t ?

Passo 1

Então, temos um circuito com um solenoide (indutor) de indutância ligado em série com um resistor de . Quando ligamos uma bateria de , queremos descobrir duas coisas:
(a) Quanto tempo leva para a corrente atingir do valor final.
(b) Qual é a corrente no resistor no instante .
Vamos precisar entender como a corrente varia em um circuito RL (resistor-indutor) e usar as fórmulas relacionadas a isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RL, a corrente cresce de forma exponencial até atingir um valor final quando o circuito está estável. A fórmula que descreve essa variação é:
onde:
  • é a corrente no tempo ,
  • é a corrente final,
  • é a constante de tempo do circuito, dada por .

Passo 3

Vamos calcular primeiro a constante de tempo :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a corrente final . Quando o circuito está estável (ou seja, depois de um tempo muito grande), a corrente atinge o valor máximo dado por:
Portanto, .

Passo 5

Para a parte (a), queremos saber em quanto tempo a corrente atinge do valor final. Então:
Dividindo ambos os lados por :
Isolando a exponencial:
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Resolvendo para :
Sabemos que , então:

Passo 6

Na parte (b), queremos encontrar a corrente no instante . Usamos a fórmula da corrente:
Substituindo :
Calculando :

Resposta

(a) O tempo necessário é aproximadamente .
(b) A corrente no resistor no instante é aproximadamente .

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