Um solenoide com uma indutância de 2,0 times 10^-6 H é ligado em série com um resistor de 1,0 k Omega. (a) Se uma bateria de 12,0 V é ligada entre os terminais do conjunto, quanto tempo é necessário para que a corrente no resistor atinja 80,0 % do valor final? (b) Qual é a corrente no resistor no instante t =2,0 tau L ?

Passo 1

Então, temos um circuito com um solenoide (indutor) de indutância 2,0 times 10^-6 , H ligado em série com um resistor de 1,0 times 10^3 , Omega. Quando ligamos uma bateria de 12,0 , V, queremos descobrir duas coisas:
(a) Quanto tempo leva para a corrente atingir 80% do valor final.
(b) Qual é a corrente no resistor no instante t = 2,0 tauL.
Vamos precisar entender como a corrente varia em um circuito RL (resistor-indutor) e usar as fórmulas relacionadas a isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RL, a corrente cresce de forma exponencial até atingir um valor final quando o circuito está estável. A fórmula que descreve essa variação é:
I(t) = Ifinal (1 - e^-ttau)
onde:
  • é a corrente no tempo ,
  • é a corrente final,
  • é a constante de tempo do circuito, dada por .

Passo 3

Vamos calcular primeiro a constante de tempo tau = LR = 2,0 times 10^-6 , H1,0 times 10^3 , Omega = 2,0 times 10^-9 , s :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a corrente final Ifinal = VR = 12,0 , V1,0 times 10^3 , Omega = 0,012 , A . Quando o circuito está estável (ou seja, depois de um tempo muito grande), a corrente atinge o valor máximo dado por:
Portanto, .

Passo 5

Para a parte (a), queremos saber em quanto tempo a corrente atinge 80% do valor final. Então:
0,8 Ifinal = Ifinal (1 - e^-ttau)
Dividindo ambos os lados por 0,8 = 1 - e^-ttau :
e^-ttau = 1 - 0,8 = 0,2
Isolando a exponencial:
-ttau = ln(0,2)
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
t = -tau ln(0,2)
Resolvendo para t = -2,0 times 10^-9 , s times (-1,609) approx 3,218 times 10^-9 , s :
Sabemos que , então:

Passo 6

Na parte (b), queremos encontrar a corrente no instante I(t) = Ifinal (1 - e^-ttau) . Usamos a fórmula da corrente:
I(2tau) = 0,012 , A (1 - e^-2)
Substituindo I(2tau) = 0,012 , A times (1 - 0,1353) = 0,012 , A times 0,8647 approx 0,0104 , A :
Calculando :

Resposta

(a) O tempo necessário é aproximadamente 3,218 times 10^-9 , s.
(b) A corrente no resistor no instante t = 2,0 tauL é aproximadamente 0,0104 , A.

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