Um campo magnético é ortogonal ao plano de uma espira circular de diâmetro igual a 10 cm, feita de um fio de cobre (diâmetro =2,5 mm ). (a) Calcular a resistência do fio. (b) em que taxa deve o campo magnético variar com o tempo para que uma corrente induzida de 10 A apareça na espira?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um campo magnético que é perpendicular a uma espira circular feita de fio de cobre. A gente precisa calcular duas coisas: (a) a resistência do fio e (b) a taxa de variação do campo magnético para que uma corrente de 10 A apareça na espira. Vamos usar conceitos de eletricidade e magnetismo, como resistência elétrica e indução magnética.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a resistência do fio. A resistência elétrica ® de um fio é dada pela fórmula:
R = rho cdot LA
Onde:
  • é a resistividade do material (para o cobre, )
  • é o comprimento do fio
  • é a área da seção transversal do fio

Passo 3

Vamos calcular o comprimento do fio ( C = pi cdot d ). Como a espira é circular, o comprimento do fio é igual à circunferência do círculo. A fórmula da circunferência é:
C = pi cdot 0,10 , m approx 0,314 , m
Onde é o diâmetro. O diâmetro da espira é 10 cm, que é 0,10 m. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a área da seção transversal do fio ( A = pi cdot r^2 ). O fio tem um diâmetro de 2,5 mm, que é 0,0025 m. A área de um círculo é:
r = d2 = 0,0025 , m2 = 0,00125 , m
Primeiro, encontramos o raio ( A = pi cdot (0,00125 , m)^2 approx 4,91 times 10^-6 , m^2 ):
Então,

Passo 5

Agora que temos R = 1,68 times 10^-8 , Omega cdot m cdot 0,314 , m4,91 times 10^-6 , m^2 e R approx 1,68 times 10^-8 cdot 63916 , podemos calcular a resistência ( R approx 1,07 times 10^-3 , Omega ):

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte: encontrar a taxa de variação do campo magnético ( V = -dPhidt ) que induz uma corrente de 10 A na espira. Usamos a Lei de Faraday da Indução, que nos diz que a força eletromotriz induzida ( Phi = B cdot A ) é:
I cdot R = d(B cdot A)dt
Onde I cdot R = A cdot dBdt é o fluxo magnético, dado por:
dBdt = I cdot RA
Como a corrente é relacionada à força eletromotriz e à resistência pela Lei de Ohm ( ), temos:
Assumindo que a área da espira é constante, podemos simplificar para:
Então, isolando :

Passo 7

Vamos substituir os valores que já temos:
I = 10 , A
R = 1,07 times 10^-3 , Omega
A = pi cdot r^2 = pi cdot (0,05 , m)^2 approx 7,85 times 10^-3 , m^2
(Na verdade, aqui deveria ser a área da espira, não do fio. A área da espira é dBdt = 10 , A cdot 1,07 times 10^-3 , Omega7,85 times 10^-3 , m^2 , com dBdt approx 0,0107 , V7,85 times 10^-3 )
Então,
dBdt approx 1,365 , T/s

Resposta

(a) A resistência do fio é aproximadamente .
(b) A taxa de variação do campo magnético deve ser de aproximadamente para induzir uma corrente de na espira.

Exercícios relacionados