Um campo magnético uniforme B é perpendicular ao plano de uma espira de raio r. O módulo do campo varia com o tempo de acordo com a relação B=B0 e^-ttau, onde B0 e tau são constantes. Determine a fem induzida na espira em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma espira circular de raio e um campo magnético uniforme que está perpendicular ao plano dessa espira. O campo magnético não é constante; ele diminui com o tempo de acordo com a fórmula , onde e são constantes. Nosso objetivo é encontrar a fem induzida ( ) nessa espira em função do tempo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e Lei de Lenz. Precisamos entender como a variação do campo magnético gera uma corrente na espira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Faraday, que diz que a fem induzida na espira é igual à taxa de variação do fluxo magnético ( E = -dPhidt ) através da espira:
O sinal negativo vem da Lei de Lenz, que indica que a fem induzida se opõe à variação que a causa.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo magnético Phi = B cdot A = B cdot pi r^2 . O fluxo é definido como o produto do campo magnético pela área da espira e pelo cosseno do ângulo entre eles. Como é perpendicular à espira, o ângulo é 0 e . Portanto:

Passo 4

Substituímos a expressão de Phi = B0 e^-ttau cdot pi r^2 na fórmula do fluxo:

Passo 5

Agora, vamos derivar o fluxo em relação ao tempo para encontrar dPhidt = ddt ( B0 e^-ttau cdot pi r^2 ) = B0 pi r^2 cdot ddt ( e^-ttau ) :
dPhidt = B0 pi r^2 cdot ( -1tau e^-ttau ) = -B0 pi r^2tau e^-ttau
A derivada de em relação a é , então:

Passo 6

Aplicando a Lei de Faraday:
E = -dPhidt = -( -B0 pi r^2tau e^-ttau ) = B0 pi r^2tau e^-ttau

Resposta

A fem induzida na espira em função do tempo é:
E(t) = B0 pi r^2tau , e^-ttau

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