O campo magnético total ao longo do eixo central da espira varia de tal forma, pois há a presença de uma corrente elétrica que varia senoidalmente no tempo, na espira, o que produz um campo magnético induzido também oscilatório, cuja intensidade é dada por
, onde
é uma função do tipo
, Ré o raio da espira e y é a localização de um ponto qualquer sobre o eixo central da espira. O campo induzido por esta espira, embora tenha a diferença de oscilar no tempo, guarda semelhança com o do ímã permanente, uma vez que ambos possuem um pólo norte e um pólo sul, localizado exatamente no mesmo eixo vertical.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos uma espira (como um anel) com um raio
e uma corrente elétrica que varia no tempo de forma senoidal. Essa corrente faz com que o campo magnético gerado pela espira também oscile ao longo do eixo central da espira, ou seja, ao longo do eixo que passa pelo centro da espira. Para resolver isso, vamos precisar entender como a corrente elétrica varia com o tempo e como isso afeta o campo magnético.
Passo 2
A corrente na espira é dada por uma função senoidal:
Aqui:
-
é a corrente média. -
é a amplitude da variação senoidal da corrente. -
é a frequência angular da variação da corrente. -
é o tempo.
Essa expressão nos mostra que a corrente oscila em torno de
com uma amplitude
.
Passo 3
O campo magnético total
ao longo do eixo central da espira é dado por:
Onde:
-
é a permeabilidade do vácuo. -
é o raio da espira. -
é a distância do ponto considerado ao centro da espira ao longo do eixo central.
Esse公式 nos mostra como o campo magnético varia com o tempo devido à variação da corrente.
Passo 4
Substituindo a expressão de
na fórmula de
, temos:
Isso significa que o campo magnético também oscila no tempo de maneira senoidal, além de ter um componente constante devido a
.
Passo 5
Vamos analisar os componentes do campo magnético:
- Componente Constante (
):
Esse é o campo magnético fixo produzido pela corrente média
.
- Componente Oscilatório (
):
Esse é o campo magnético que oscila no tempo devido à variação senoidal da corrente.
Passo 6
A semelhança com um ímã permanente vem do fato de que ambos os campos magnéticos possuem pólos norte e sul bem definidos ao longo do mesmo eixo. No caso da espira com corrente oscilante, mesmo que o campo magnético varie no tempo, a estrutura do campo com seus pólos permanece semelhante à de um ímã permanente.
Passo 7
Se quisermos visualizar ou calcular valores específicos do campo magnético em determinado instante, basta substituir o valor de
na expressão de
. Isso nos dará o valor do campo magnético naquele momento específico.
Resposta
O campo magnético total ao longo do eixo central da espira é dado por:
onde
,
é o raio da espira,
é a distância ao longo do eixo central,
é a corrente média,
é a amplitude da corrente oscilante, e
é a frequência angular da oscilação.
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Mostre que a equação de Euler pode ser escrita na forma:
.
Quando não depende explicitamente de
, mostre que:
constante.
Dica: comece calculando a derivada total .
Quando
Dica: comece calculando a derivada total
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Em geral, a função no integrando
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não depende de
, ou seja,
. Mostre que quando isso acontece a equação de Euler se reduz à
const .
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Uma vez que esta é uma equação diferencial de primeira ordem em