Em geral, a função no integrando
cuja integral queremos tornar estacionária depende de
e
. Há considerável simplificação se
não depende de
, ou seja,
. Mostre que quando isso acontece a equação de Euler se reduz à
const .
Uma vez que esta é uma equação diferencial de primeira ordem em
, enquanto a equação de Euler é geralmente de segunda ordem, esta é uma importante simplificação e o resultado acima é denominado de primeira integral de Euler. Na mecânica Lagrangiana, veremos que esta simplificação surge quando uma componente do momento e conservada.
Uma vez que esta é uma equação diferencial de primeira ordem em
Passo 1
Vamos lá! Você me deu um exercício sobre o Cálculo das Variações, especificamente envolvendo a Equação de Euler-Lagrange. O enunciado diz que, quando a função integranda
não depende de
(ou seja,
), a equação de Euler se simplifica para
. Nosso objetivo é mostrar essa simplificação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Equação de Euler-Lagrange. Ela é usada para encontrar a função
que torna a integral
estacionária (ou seja, minimiza ou maximiza a integral). A equação de Euler-Lagrange é dada por:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem porque envolve a derivada de
.
Passo 3
Agora, segundo o enunciado, vamos considerar que a função
não depende de
. Isso significa que
. Ou seja, a função integranda só depende de
(a derivada de
em relação a
) e de
diretamente.
Passo 4
Com essa simplificação, vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na Equação de Euler-Lagrange:
- Derivada parcial de
em relação a :
Isso porque
não depende de
.
- Derivada parcial de
em relação a :
Essa derivada continua sendo uma função de
e
.
Passo 5
Substituímos essas derivadas na Equação de Euler-Lagrange:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Passo 6
A equação acima nos diz que a derivada de
em relação a
é zero. Isso significa que
é constante. Ou seja:
Essa constante pode ser chamada de
.
Resposta
Quando a função integranda
não depende de
, a Equação de Euler se simplifica para:
Esse resultado é conhecido como a primeira integral de Euler e representa uma importante simplificação na análise de problemas de Cálculo das Variações e na mecânica Lagrangiana.