Em geral, a função no integrando
cuja integral queremos tornar estacionária depende de
e
. Há considerável simplificação se
não depende de
, ou seja,
. Mostre que quando isso acontece a equação de Euler se reduz à
const .
Uma vez que esta é uma equação diferencial de primeira ordem em
, enquanto a equação de Euler é geralmente de segunda ordem, esta é uma importante simplificação e o resultado acima é denominado de primeira integral de Euler. Na mecânica Lagrangiana, veremos que esta simplificação surge quando uma componente do momento e conservada.
Uma vez que esta é uma equação diferencial de primeira ordem em
Passo 1
Vamos lá! Você me deu um exercício sobre o Cálculo das Variações, especificamente envolvendo a Equação de Euler-Lagrange. O enunciado diz que, quando a função integranda
não depende de
(ou seja,
), a equação de Euler se simplifica para
. Nosso objetivo é mostrar essa simplificação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Equação de Euler-Lagrange. Ela é usada para encontrar a função
que torna a integral
estacionária (ou seja, minimiza ou maximiza a integral). A equação de Euler-Lagrange é dada por:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem porque envolve a derivada de
.
Passo 3
Agora, segundo o enunciado, vamos considerar que a função
não depende de
. Isso significa que
. Ou seja, a função integranda só depende de
(a derivada de
em relação a
) e de
diretamente.
Passo 4
Com essa simplificação, vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na Equação de Euler-Lagrange:
- Derivada parcial de
em relação a :
Isso porque
não depende de
.
- Derivada parcial de
em relação a :
Essa derivada continua sendo uma função de
e
.
Passo 5
Substituímos essas derivadas na Equação de Euler-Lagrange:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Passo 6
A equação acima nos diz que a derivada de
em relação a
é zero. Isso significa que
é constante. Ou seja:
Essa constante pode ser chamada de
.
Resposta
Quando a função integranda
não depende de
, a Equação de Euler se simplifica para:
Esse resultado é conhecido como a primeira integral de Euler e representa uma importante simplificação na análise de problemas de Cálculo das Variações e na mecânica Lagrangiana.
Exercícios relacionados
Em um circuito LC, enquanto a energia magnética armazenada pelo indutor pode ser comparada à energia cinética de um sistema massa-mola, a energia elétrica armazenada pelo capacitor pode ser comparada à energia potencial.
O campo magnético total ao longo do eixo central da espira varia de tal forma, pois há a presença de uma corrente elétrica que varia senoidalmente no tempo, na espira, o que produz um campo magnético induzido também oscilatório, cuja intensidade é dada por
, onde
é uma função do tipo
, Ré o raio da espira e y é a localização de um ponto qualquer sobre o eixo central da espira. O campo induzido por esta espira, embora tenha a diferença de oscilar no tempo, guarda semelhança com o do ímã permanente, uma vez que ambos possuem um pólo norte e um pólo sul, localizado exatamente no mesmo eixo vertical.
Na verdade, justamente porque o fusível não possui resistência e funciona como uma chave aberta, antes da sua queima, a corrente percorrerá o caminho formado pelo resistor R e indutor L em série. Portanto, a equação para o aumento da corrente em um circuito RL, abaixo, nos permite encontrar o instante t , em que ocorre a queima do fusível. Para isso, substituímos i por
por
e R por
, restando apenas a incógnita t , uma vez que
.
O campo magnético total será dado pela soma do campo magnético permanente do ímã com o campo magnético induzido pela corrente da espira. Como este campo total varia senoidalmente entre os valores de 26,6 T e 30,0 T, com uma frequência de 15 Hz , a sua equação horária será do tipo:
Onde
.