Em geral, a função no integrando cuja integral queremos tornar estacionária depende de e . Há considerável simplificação se não depende de , ou seja, . Mostre que quando isso acontece a equação de Euler se reduz à const .
Uma vez que esta é uma equação diferencial de primeira ordem em , enquanto a equação de Euler é geralmente de segunda ordem, esta é uma importante simplificação e o resultado acima é denominado de primeira integral de Euler. Na mecânica Lagrangiana, veremos que esta simplificação surge quando uma componente do momento e conservada.

Passo 1

Vamos lá! Você me deu um exercício sobre o Cálculo das Variações, especificamente envolvendo a Equação de Euler-Lagrange. O enunciado diz que, quando a função integranda não depende de (ou seja, ), a equação de Euler se simplifica para . Nosso objetivo é mostrar essa simplificação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Equação de Euler-Lagrange. Ela é usada para encontrar a função que torna a integral
estacionária (ou seja, minimiza ou maximiza a integral). A equação de Euler-Lagrange é dada por:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem porque envolve a derivada de .

Passo 3

Agora, segundo o enunciado, vamos considerar que a função não depende de . Isso significa que . Ou seja, a função integranda só depende de (a derivada de em relação a ) e de diretamente.

Passo 4

Com essa simplificação, vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na Equação de Euler-Lagrange:
  1. Derivada parcial de em relação a :
Isso porque não depende de .
  1. Derivada parcial de em relação a :
Essa derivada continua sendo uma função de e .

Passo 5

Substituímos essas derivadas na Equação de Euler-Lagrange:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por -1:

Passo 6

A equação acima nos diz que a derivada de em relação a é zero. Isso significa que é constante. Ou seja:
Essa constante pode ser chamada de .

Resposta

Quando a função integranda não depende de , a Equação de Euler se simplifica para:
Esse resultado é conhecido como a primeira integral de Euler e representa uma importante simplificação na análise de problemas de Cálculo das Variações e na mecânica Lagrangiana.

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