Mostre que a equação de Euler pode ser escrita na forma:
partial f / partial x-dd x(f-y^prime partial f / partial y^prime)=0.
Quando f não depende explicitamente de x(partial f / partial x=0), mostre que:
f-y^prime partial f / partial y^prime= constante.
Dica: comece calculando a derivada total dd x f(y, y^prime, x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a equação de Euler pode ser escrita de uma forma específica usando derivadas parciais. Além disso, quando a função não depende diretamente de , precisamos provar que uma certa expressão é constante. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais, derivadas totais e a própria equação de Euler, que é fundamental no cálculo das variações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Euler. Ela aparece quando queremos encontrar funções que minimizam ou maximizam uma integral, tipo na física quando buscamos o caminho de menor ação. A forma geral da equação de Euler para uma função partial fpartial y - ddx(partial fpartial y') = 0 é:
Mas o enunciado quer que a gente reescreva essa equação de uma maneira diferente.

Passo 3

A dica do exercício sugere que comecemos calculando a derivada total de ddx f = partial fpartial y y' + partial fpartial y' y'' + partial fpartial x em relação a . A derivada total leva em conta como todas as variáveis dependem de . Então, aplicando a regra da cadeia, temos:

Passo 4

Agora, queremos manipular essa expressão para chegar na forma que o enunciado pede. Vamos reorganizar a equação acima de forma a isolar partial fpartial x = ddx f - partial fpartial y y' - partial fpartial y' y'' :

Passo 5

Substituindo a expressão da equação de Euler na equação acima, temos:
partial fpartial x = ddx f - ( ddx(partial fpartial y') y' + partial fpartial y' y'' )
Simplificando:
partial fpartial x = ddx f - ddx( y' partial fpartial y' )

Passo 6

Isso nos leva diretamente à primeira parte do enunciado:
partial fpartial x - ddx( f - y' partial fpartial y' ) = 0
Rearranjando os termos:
partial fpartial x - ddx( f - y' partial fpartial y' ) = 0
E assim mostramos a forma desejada da equação de Euler.

Passo 7

Agora, vamos para a segunda parte. Se 0 - ddx( f - y' partial fpartial y' ) = 0 não depende explicitamente de ddx( f - y' partial fpartial y' ) = 0 , isso quer dizer que f - y' partial fpartial y' = constante . Substituindo isso na equação que obtivemos:
Ou seja:
Quando a derivada de uma função é zero, significa que a função é constante. Portanto:

Resposta

A equação de Euler pode ser escrita como:
partial fpartial x - ddx( f - y' partial fpartial y' ) = 0
E, quando f - y' partial fpartial y' = constante não depende explicitamente de , temos que:

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