Mostre que a equação de Euler pode ser escrita na forma:
.
Quando não depende explicitamente de , mostre que:
constante.
Dica: comece calculando a derivada total .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a equação de Euler pode ser escrita de uma forma específica usando derivadas parciais. Além disso, quando a função não depende diretamente de , precisamos provar que uma certa expressão é constante. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais, derivadas totais e a própria equação de Euler, que é fundamental no cálculo das variações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Euler. Ela aparece quando queremos encontrar funções que minimizam ou maximizam uma integral, tipo na física quando buscamos o caminho de menor ação. A forma geral da equação de Euler para uma função é:
Mas o enunciado quer que a gente reescreva essa equação de uma maneira diferente.

Passo 3

A dica do exercício sugere que comecemos calculando a derivada total de em relação a . A derivada total leva em conta como todas as variáveis dependem de . Então, aplicando a regra da cadeia, temos:

Passo 4

Agora, queremos manipular essa expressão para chegar na forma que o enunciado pede. Vamos reorganizar a equação acima de forma a isolar :

Passo 5

Substituindo a expressão da equação de Euler na equação acima, temos:
Simplificando:

Passo 6

Isso nos leva diretamente à primeira parte do enunciado:
Rearranjando os termos:
E assim mostramos a forma desejada da equação de Euler.

Passo 7

Agora, vamos para a segunda parte. Se não depende explicitamente de , isso quer dizer que . Substituindo isso na equação que obtivemos:
Ou seja:
Quando a derivada de uma função é zero, significa que a função é constante. Portanto:

Resposta

A equação de Euler pode ser escrita como:
E, quando não depende explicitamente de , temos que:

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