Mostre que a equação de Euler pode ser escrita na forma:
.
Quando
não depende explicitamente de
, mostre que:
constante.
Dica: comece calculando a derivada total
.
Quando
Dica: comece calculando a derivada total
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a equação de Euler pode ser escrita de uma forma específica usando derivadas parciais. Além disso, quando a função
não depende diretamente de
, precisamos provar que uma certa expressão é constante. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais, derivadas totais e a própria equação de Euler, que é fundamental no cálculo das variações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Euler. Ela aparece quando queremos encontrar funções que minimizam ou maximizam uma integral, tipo na física quando buscamos o caminho de menor ação. A forma geral da equação de Euler para uma função
é:
Mas o enunciado quer que a gente reescreva essa equação de uma maneira diferente.
Passo 3
A dica do exercício sugere que comecemos calculando a derivada total de
em relação a
. A derivada total leva em conta como todas as variáveis dependem de
. Então, aplicando a regra da cadeia, temos:
Passo 4
Agora, queremos manipular essa expressão para chegar na forma que o enunciado pede. Vamos reorganizar a equação acima de forma a isolar
:
Passo 5
Substituindo a expressão da equação de Euler na equação acima, temos:
Simplificando:
Passo 6
Isso nos leva diretamente à primeira parte do enunciado:
Rearranjando os termos:
E assim mostramos a forma desejada da equação de Euler.
Passo 7
Agora, vamos para a segunda parte. Se
não depende explicitamente de
, isso quer dizer que
. Substituindo isso na equação que obtivemos:
Ou seja:
Quando a derivada de uma função é zero, significa que a função é constante. Portanto:
Resposta
A equação de Euler pode ser escrita como:
E, quando
não depende explicitamente de
, temos que: