O campo magnético uniforme que atravessa o plano de uma bobina condutora circular de raio 19 cm tem seu módulo variando no tempo, B=25,0(1+cos (4,2 t)), com B em Gauss e t em segundos; o campo é perpendicular ao plano da bobina. A corrente que a atravessa varia no tempo, e tem valor máximo igual a 15 mA . Determine a resistência da bobina.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma bobina circular com raio de 19 cm que está sendo atravessada por um campo magnético que muda com o tempo, dado por Gauss. Sabemos que a corrente máxima na bobina é de 15 mA. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a resistência dessa bobina. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Lei de Faraday da indução eletromagnética e a Lei de Ohm.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Faraday, que nos diz que a força eletromotriz (EMF) induzida numa bobina é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético que a atravessa. Matemáticamente, isso é representado por:
EMF = -dPhiBdt
Onde é o fluxo magnético.

Passo 3

O fluxo magnético ( PhiB = B times A ) é dado pelo produto do campo magnético ( A = pi r^2 ) pela área da bobina ( ) perpendicular ao campo:
A área de uma bobina circular é:
Onde metros.

Passo 4

Vamos calcular a área da bobina:
A = pi (0,19)^2 approx pi (0,0361) approx 0,1135 , m^2

Passo 5

Agora, substituímos PhiB(t) = 25,0 (1 + cos(4,2 t)) times 0,1135 na expressão do fluxo magnético:
PhiB(t) approx 2,8375 (1 + cos(4,2 t)) , Gauss cdot m^2
PhiB(t) approx 2,8375 times 10^-4 (1 + cos(4,2 t)) , T cdot m^2
Observação: 1 Gauss = Tesla, então precisamos converter para unidades SI:

Passo 6

Vamos derivar dPhiBdt = -2,8375 times 10^-4 times 4,2 sin(4,2 t) em relação ao tempo para encontrar dPhiBdt approx -1,193 times 10^-3 sin(4,2 t) , V :
| dPhiBdt |máx = 1,193 times 10^-3 , V
O valor máximo dessa derivada ocorre quando :
á

Passo 7

Segundo a Lei de Ohm, a EMF também é igual ao produto da corrente ( EMF = I times R ) pela resistência ( I times R = | dPhiBdt |máx ):
R = | dPhiBdt |máxImáx
Comparando com a expressão da Lei de Faraday, temos:
á
áá

Passo 8

Substituindo os valores conhecidos:
R = 1,193 times 10^-3 , V0,015 , A approx 0,0795 , Omega

Resposta

A resistência da bobina é aproximadamente .

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