( 2,0 pontos) Um oscilador, quando nĩo amortecido, passui periodo igual a
, quando um pequeno amortocimento 6 introduzido, observase que a amplitude cai
após um periodo
. Quão grande ć o 0,5 parimetro de amortecimento
quando comparado a frequéucia de oscilaçèes lives
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de oscilações amortecidas, que são aquelas onde a amplitude diminui com o tempo devido a algum tipo de resistência, como o atrito. Para resolver isso, vamos precisar entender como o parâmetro de amortecimento
se relaciona com a frequência das oscilações livres
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o período de um oscilador não amortecido é dado por:
Aqui,
, então podemos encontrar
:
Passo 3
Agora, quando adicionamos um pequeno amortecimento, a amplitude do oscilador decresce exponencialmente com o tempo. A relação para a amplitude após um período
é:
Sabemos que a amplitude cai para 50% em um período
:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Vamos resolver para
. Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Cancelando os sinais negativos:
Passo 5
Queremos encontrar
em termos de
. Vamos lembrar que para um oscilador levemente amortecido, a frequência angular amortecida é aproximadamente igual à frequência das oscilações livres:
Portanto, podemos expressar
em relação a
:
Simplificando:
Resposta
O parâmetro de amortecimento
é aproximadamente
vezes a frequência das oscilações livres
.