( 2,0 pontos) Um oscilador, quando nĩo amortecido, passui periodo igual a tau0=2,0 %, quando um pequeno amortocimento 6 introduzido, observase que a amplitude cai 50 % após um periodo tau1. Quão grande ć o 0,5 parimetro de amortecimento beta quando comparado a frequéucia de oscilaçèes lives omega0 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de oscilações amortecidas, que são aquelas onde a amplitude diminui com o tempo devido a algum tipo de resistência, como o atrito. Para resolver isso, vamos precisar entender como o parâmetro de amortecimento beta se relaciona com a frequência das oscilações livres omega0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o período de um oscilador não amortecido é dado por:
tau0 = 2piomega0
Aqui, tau0 = 2,0,s, então podemos encontrar omega0:
omega0 = 2pitau0 = 2pi2,0 = pi, rad/s

Passo 3

Agora, quando adicionamos um pequeno amortecimento, a amplitude do oscilador decresce exponencialmente com o tempo. A relação para a amplitude após um período tau1 é:
A = A0 e^-beta tau1
Sabemos que a amplitude cai para 50% em um período tau1:
0,5 A0 = A0 e^-beta tau1
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por A0:
0,5 = e^-beta tau1

Passo 4

Vamos resolver para beta. Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
ln(0,5) = -beta tau1
Sabemos que ln(0,5) = -ln(2), então:
-ln(2) = -beta tau1
Cancelando os sinais negativos:
beta = ln(2)tau1

Passo 5

Queremos encontrar beta em termos de omega0. Vamos lembrar que para um oscilador levemente amortecido, a frequência angular amortecida é aproximadamente igual à frequência das oscilações livres:
omega approx omega0
Portanto, podemos expressar beta em relação a omega0:
beta = ln(2)tau1 = ln(2) cdot omega02pi
Simplificando:
betaomega0 = ln(2)2pi approx 0,6936,283 approx 0,11

Resposta

O parâmetro de amortecimento beta é aproximadamente 0,11 vezes a frequência das oscilações livres omega0.

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