Considere um fio infinito ao longo do eixo x. Este fio possui seção transversal e é percorrido por uma corrente elétrica indo para a esquerda, decorrente do movimento dos elétrons para a direita com velocidade média igual a
onde é a densidade das cargas negativas em módulo. O fio é eletricamente neutro, de modo que a densidade das cargas positivas, que estão em repouso, também é igual a . Determine o campo magnético desse fio da seguinte forma:
a) considere (S) o referencial no qual o fio (e as cargas positivas) estão em repouso e (S
b) determine o campo elétrico das cargas positivas em (S) (use lei de Gauss: fluxo do campo elétrico carga interna (no sistema Gaussiano));
c) determine o campo elétrico das cargas negativas no referencial (
e) Some o resultado com o campo elétrico das cargas positivas e analise o que sobra: você deve encontrar exatamente o campo magnético que você poderia ter calculado usando a lei de Ampère: . onde é a corrente que atravessa o contorno ao redor do fio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um fio infinito com corrente elétrica, onde as cargas positivas estão em repouso e as negativas se movem. A matéria envolvida aqui é Eletromagnetismo, mais especificamente sobre campos elétricos e magnéticos em sistemas com cargas em movimento. Para resolver, vamos precisar usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e a Lei de Ampère para relacionar com o campo magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o referencial onde o fio e as cargas positivas estão em repouso. Nesse sistema, apenas as cargas negativas estão se movendo, criando uma corrente elétrica . Como o fio é neutro, a densidade de cargas positivas é igual à de negativas, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos determinar o campo elétrico das cargas positivas nesse referencial . Para isso, usamos a Lei de Gauss, que nos diz que o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada é igual a vezes a carga interna . Como as cargas positivas estão em repouso e uniformemente distribuídas, o campo elétrico devido a elas pode ser calculado considerando uma distribuição cilíndrica ao redor do fio.
A fórmula da Lei de Gauss é:
Como o campo elétrico é radial e uniforme em uma superfície cilíndrica, podemos simplificar:
Aqui, é a distância do fio, é o comprimento do cilindro, e é a seção transversal do fio.
Resolvendo para :

Passo 4

Em seguida, vamos determinar o campo elétrico das cargas negativas no referencial . Mesmo que as cargas negativas estejam se movendo com uma velocidade média , no referencial o fio está em repouso, então a densidade das cargas positivas permanece , e a das negativas também é , já que o fio é neutro.
Portanto, o campo elétrico das cargas negativas será igual em magnitude e direção ao das positivas, mas com sinal oposto:

Passo 5

Agora, vamos somar os campos elétricos das cargas positivas e negativas:
Como a soma dá zero, não resta nenhum campo elétrico no referencial . Isso faz sentido, já que o fio é eletricamente neutro e não há campo elétrico resultante.

Passo 6

Porém, sabemos que há uma corrente elétrica no fio devido ao movimento das cargas negativas. Para relacionar isso com o campo magnético, usamos a Lei de Ampère:
Onde é o campo magnético, e é a velocidade da luz.
Esse processo mostra que, mesmo sem campo elétrico no referencial , a corrente gera um campo magnético ao redor do fio, conforme previsto pela Lei de Ampère.

Resposta

O campo magnético gerado pelo fio infinito é dado por
onde é a distância do fio e é a direção azimutal ao redor do fio.

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