O campo de velocidade é dado por u=30(y-24 y^2) ft / s, v=w=0. Mostre as componentes de tensão no ponto y=0,1 in, usando mu=10^-5 lb-s / ft^2 e p=30 psi. Encontre a razão tauxy / sigmaxx.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão nos pede. Temos um campo de velocidade definido por ft/s, com . Precisamos encontrar as componentes de tensão no ponto onde polegadas, usando a viscosidade dinâmica lb·s/ft² e a pressão psi. Além disso, devemos calcular a razão .
Esse exercício está relacionado à mecânica dos fluidos, especificamente ao cálculo das tensões em um fluido em movimento utilizando a teoria de fluídos newtonianos. Para resolver, precisaremos aplicar as equações de tensões em fluidos e realizar algumas derivadas do campo de velocidade fornecido.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar que em um fluido newtoniano, as tensões são compostas por duas partes: uma partícula isotrópica devido à pressão sigmaij = -pde e uma parte viscosa que depende das derivadas das velocidades. As componentes de tensão podem ser expressas pela seguinte equação:
Onde:
  • são as componentes do tensor de tensões.
  • é a pressão.
  • é a viscosidade dinâmica.
  • e são as componentes da velocidade.
  • é o delta de Kronecker, que é 1 quando e 0 caso contrário.
No nosso caso, como , simplificamos as componentes de tensão que vamos precisar.

Passo 3

Vamos calcular sigmaxx = -p + mu ( 2 partial upartial x ) e sigmaxx = -p .
Primeiro, para tauxy = mu ( partial upartial y + partial vpartial x ) :
tauxy = mu partial upartial y
Mas observamos que a velocidade é apenas função de , ou seja, . Portanto:
Agora, para :
Como , temos , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular u = 30(y - 24y^2) . A expressão de partial upartial y = 30(1 - 48y) é:
y = 0,1 in = 0,112 ft approx 0,008333 ft
Derivando em relação a partial upartial y = 30 (1 - 48 times 0,008333) = 30 (1 - 0,4) = 30 times 0,6 = 18 s^-1 :
Substituindo polegadas. Porém, precisamos converter para pés, já que a viscosidade está em lb·s/ft² e as unidades devem ser consistentes.
Sabemos que 1 polegada = 1/12 pés, então:
Substituindo na derivada:

Passo 5

Agora, calculamos tauxy = mu partial upartial y = 10^-5 times 18 = 1,8 times 10^-4 lb/ft^2 :
1 psi = 144 lb/ft^2
E sigmaxx = -30 times 144 = -4320 lb/ft^2 . Dado que psi, precisamos converter para lb/ft². Sabemos que:
Portanto:

Passo 6

Finalmente, calculamos a razão tauxysigmaxx = 1,8 times 10^-4-4320 approx -4,1667 times 10^-8 :

Resposta

A razão no ponto in é aproximadamente .

Exercícios relacionados