O campo de velocidade é dado por
. Mostre as componentes de tensão no ponto
in, usando
e
psi. Encontre a razão
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão nos pede. Temos um campo de velocidade definido por
ft/s, com
. Precisamos encontrar as componentes de tensão no ponto onde
polegadas, usando a viscosidade dinâmica
lb·s/ft² e a pressão
psi. Além disso, devemos calcular a razão
.
Esse exercício está relacionado à mecânica dos fluidos, especificamente ao cálculo das tensões em um fluido em movimento utilizando a teoria de fluídos newtonianos. Para resolver, precisaremos aplicar as equações de tensões em fluidos e realizar algumas derivadas do campo de velocidade fornecido.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar que em um fluido newtoniano, as tensões são compostas por duas partes: uma partícula isotrópica devido à pressão
e uma parte viscosa que depende das derivadas das velocidades. As componentes de tensão podem ser expressas pela seguinte equação:
Onde:
-
são as componentes do tensor de tensões. -
é a pressão. -
é a viscosidade dinâmica. -
e são as componentes da velocidade. -
é o delta de Kronecker, que é 1 quando e 0 caso contrário.
No nosso caso, como
, simplificamos as componentes de tensão que vamos precisar.
Passo 3
Vamos calcular
e
.
Primeiro, para
:
Mas observamos que a velocidade
é apenas função de
, ou seja,
. Portanto:
Agora, para
:
Como
, temos
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. A expressão de
é:
Derivando em relação a
:
Substituindo
polegadas. Porém, precisamos converter
para pés, já que a viscosidade
está em lb·s/ft² e as unidades devem ser consistentes.
Sabemos que 1 polegada = 1/12 pés, então:
Substituindo na derivada:
Passo 5
Agora, calculamos
:
E
. Dado que
psi, precisamos converter para lb/ft². Sabemos que:
Portanto:
Passo 6
Finalmente, calculamos a razão
:
Resposta
A razão
no ponto
in é aproximadamente
.