Um fluido escoa no pequeno intervalo entre esferas girando concentricamente, tal que, vtheta=v(r) e vphi=0. Simplifique as equações de Navier-Stokes, desprezando a gravidade para um escoamento permanente e incompressível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o escoamento de um fluido entre esferas que estão girando uma dentro da outra. A parte que precisamos focar é nas equações de Navier-Stokes, que descrevem como o fluido se movimenta. Vamos precisar entender um pouco sobre essas equações, coordenadas esféricas e os conceitos de escoamento permanente e incompressível.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são as equações de Navier-Stokes. Elas são equações diferenciais que descrevem a conservação do momento em um fluido, levando em conta viscosidade e forças externas. Para simplificar, consideramos um escoamento permanente (ou estacionário), onde as propriedades do fluido não mudam com o tempo, e incompressível, o que significa que a densidade do fluido é constante.

Passo 3

Como o problema está em coordenadas esféricas, precisamos escrever as equações de Navier-Stokes nessa base. Em coordenadas esféricas (r, theta, phi), as componentes de velocidade são vr, vtheta e vphi. No nosso caso, foi dado que vtheta = v(r) e vphi = 0, ou seja, não há componente de velocidade na direção phi.

Passo 4

Com as condições dadas, vamos substituir na equação de continuidade para escoamento incompressível. A equação de continuidade em coordenadas esféricas é:
1r^2 partialpartial r (r^2 vr) + 1r sintheta partialpartial theta (vtheta sintheta) + 1r sintheta partial vphipartial phi = 0
Como vphi = 0, a última parte desaparece. E substituindo vtheta = v(r), que depende somente de r, a equação simplifica para:
1r^2 dd r (r^2 vr) + 1r sintheta sintheta d v(r)d theta = 0

Passo 5

Agora, vamos olhar para as equações de Navier-Stokes nas direções r e theta. Como o escoamento é permanente e não há componentes em phi, e também desprezando a gravidade, as equações se simplificam bastante. Vamos considerar apenas as forças viscosas e a pressão.

Passo 6

Após aplicar todas as simplificações e considerar que vphi = 0, as equações de Navier-Stokes reduzem-se a:
Para a direção r:
partial Ppartial r = mu ( 1r^2 dd r ( r^2 d v(r)d r ) - 2 v(r)r^2 )
Para a direção theta:
partial Ppartial theta = 0

Resposta

As equações de Navier-Stokes simplificadas para o escoamento descrito são:
partial Ppartial r = mu ( 1r^2 dd r ( r^2 d v(r)d r ) - 2 v(r)r^2 )
partial Ppartial theta = 0

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