Um fluido escoa no pequeno intervalo entre esferas girando concentricamente, tal que,
e
. Simplifique as equações de Navier-Stokes, desprezando a gravidade para um escoamento permanente e incompressível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o escoamento de um fluido entre esferas que estão girando uma dentro da outra. A parte que precisamos focar é nas equações de Navier-Stokes, que descrevem como o fluido se movimenta. Vamos precisar entender um pouco sobre essas equações, coordenadas esféricas e os conceitos de escoamento permanente e incompressível.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são as equações de Navier-Stokes. Elas são equações diferenciais que descrevem a conservação do momento em um fluido, levando em conta viscosidade e forças externas. Para simplificar, consideramos um escoamento permanente (ou estacionário), onde as propriedades do fluido não mudam com o tempo, e incompressível, o que significa que a densidade do fluido é constante.
Passo 3
Como o problema está em coordenadas esféricas, precisamos escrever as equações de Navier-Stokes nessa base. Em coordenadas esféricas
, as componentes de velocidade são
,
e
. No nosso caso, foi dado que
e
, ou seja, não há componente de velocidade na direção
.
Passo 4
Com as condições dadas, vamos substituir na equação de continuidade para escoamento incompressível. A equação de continuidade em coordenadas esféricas é:
Como
, a última parte desaparece. E substituindo
, que depende somente de
, a equação simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos olhar para as equações de Navier-Stokes nas direções
e
. Como o escoamento é permanente e não há componentes em
, e também desprezando a gravidade, as equações se simplificam bastante. Vamos considerar apenas as forças viscosas e a pressão.
Passo 6
Após aplicar todas as simplificações e considerar que
, as equações de Navier-Stokes reduzem-se a:
Para a direção
:
Para a direção
:
Resposta
As equações de Navier-Stokes simplificadas para o escoamento descrito são: