O campo de velocidade perto da superfície é aproximado por u=10(2 y / de, em que de. Se de em x=1000 m, encontre v(x, y), supondo que w=0 e v(x, 0)=0. Mostre também as componentes de tensão em (1000, 0 ) usando mu=2.10^-5 N s / m^2 e p =100 kPa. Suponha um escoamento incompressível.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma expressão para a velocidade horizontal perto da superfície:
u = 10(2 yde
Aqui, de depende da distância x conforme de. Sabemos que quando x = 1000, m, de. Nosso objetivo é encontrar a velocidade vertical v(x, y), assumindo que a componente w = 0 e que v(x, 0) = 0. Além disso, precisamos calcular as componentes de tensão no ponto (1000, 0) usando mu = 2 times 10^-5, N cdot s/m^2 e p = 100, kPa. Vamos precisar usar conceitos de escoamento incompressível e equilíbrio de incompressibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a constante C da expressão de de. Sabemos que:
de
Quando x = 1000, m, de. Substituindo esses valores:
8 = C times (1000)^4/5
Precisamos resolver para C. Calculando (1000)^4/5:
1000^4/5 = (10^3)^4/5 = 10^12/5 = 10^2.4 approx 251.1886
Agora, isolando C:
C = 8251.1886 approx 0.0318, m^1/5/m^4/5

Passo 3

Agora que temos C, podemos expressar de em termos de x:
de
Isso nos permitirá expressar de para qualquer x no escoamento.

Passo 4

Next, precisamos encontrar a velocidade vertical v(x, y). Sabemos que o escoamento é incompressível, o que significa que a divergência do campo de velocidade é zero:
partial upartial x + partial vpartial y = 0
Nosso objetivo é encontrar v, então vamos rearranjar a equação:
partial vpartial y = -partial upartial x

Passo 5

Primeiro, vamos calcular partial upartial x. A expressão para u é:
u = 10(2 yde
Substituindo de:
u = 10(2 yC x^4/5 - y^2(C x^4/5)^2) = 10(2 yC x^4/5 - y^2C^2 x^8/5)
Agora, derivamos u em relação a x:
partial upartial x = 10(-2 y times 45 C x^-1/5C^2 x^8/5 + 8 y^2 times 45 C^2 x^-13/5C^3 x^12/5)
Simplificando os termos:
partial upartial x = 10(-8 y5 C x^9/5 + 32 y^25 C^2 x^21/5)

Passo 6

Agora, substituímos partial upartial x na equação para partial vpartial y:
partial vpartial y = -(-8 y5 C x^9/5 + 32 y^25 C^2 x^21/5) = 8 y5 C x^9/5 - 32 y^25 C^2 x^21/5
Para encontrar v, integramos essa expressão em relação a y:
v(x, y) = integral (8 y5 C x^9/5 - 32 y^25 C^2 x^21/5) dy + f(x)

Passo 7

Realizando a integração:
v(x, y) = 85 C x^9/5 cdot y^22 - 325 C^2 x^21/5 cdot y^33 + f(x)
Simplificando:
v(x, y) = 4 y^25 C x^9/5 - 32 y^315 C^2 x^21/5 + f(x)

Passo 8

Agora, usamos a condição de contorno v(x, 0) = 0 para encontrar f(x):
v(x, 0) = 0 = 4 times 05 C x^9/5 - 32 times 015 C^2 x^21/5 + f(x)
Portanto, f(x) = 0.

Passo 9

Assim, a expressão para v(x, y) fica:
v(x, y) = 4 y^25 C x^9/5 - 32 y^315 C^2 x^21/5
Essa é a velocidade vertical em termos de x e y.

Passo 10

Agora, vamos calcular as componentes de tensão no ponto (1000, 0). As componentes de tensão sigmaij num escoamento incompressível são dadas por:
sigmaij = -p de
Onde p é a pressão, mu é a viscosidade dinâmica, e de é o delta de Kronecker.
Como as coordenadas são (x, y), vamos considerar as componentes sigmaxx, sigmaxy e sigmayy.

Passo 11

Primeiro, calculamos as derivadas necessárias no ponto (1000, 0):
  • partial upartial x já calculamos anteriormente.
  • partial upartial y é:
partial upartial y = 10(2de
No ponto (1000, 0):
partial upartial y = 10 times 2de
  • Como v = 0 em y=0, temos partial vpartial x = 0 no ponto.

Passo 12

Agora, calculamos as componentes de tensão:
  • sigmaxx = -p + 2mu partial upartial x
  • sigmaxy = mu (partial upartial y + partial vpartial x)
  • sigmayy = -p + 2mu partial vpartial y
No ponto (1000, 0):
  • Sabemos que partial upartial x no ponto pode ser calculado substituindo y = 0 na expressão anteriormente obtida:
partial upartial x = 8 times 05 C times 1000^9/5 - 32 times 05 C^2 times 1000^21/5 = 0
Portanto:
  • sigmaxx = -100,000, Pa + 2 times 2 times 10^-5, N cdot s/m^2 times 0 = -100,000, Pa
  • sigmaxy = 2 times 10^-5, N cdot s/m^2 times 2.5 = 5 times 10^-5, Pa
  • Para sigmayy, precisamos de partial vpartial y no ponto (1000, 0):
v = 4 times 0^25 times 0.0318 times 1000^9/5 - 32 times 0^315 times 0.0318^2 times 1000^21/5 = 0
Logo, partial vpartial y = 8 y5 C x^9/5 - 32 y^25 C^2 x^21/5 g|y=0 = 0
Portanto:
  • sigmayy = -100,000, Pa + 2 times 2 times 10^-5, N cdot s/m^2 times 0 = -100,000, Pa

Resposta

A velocidade vertical é dada por:
v(x, y) = 4 y^25 times 0.0318 times x^9/5 - 32 y^315 times (0.0318)^2 times x^21/5
No ponto (1000, 0), as componentes de tensão são:
sigmaxx = -100,000, Pa
sigmaxy = 5 times 10^-5, Pa
sigmayy = -100,000, Pa

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