O campo de velocidade perto da superfície é aproximado por
, em que
. Se
em
, encontre
, supondo que
. Mostre também as componentes de tensão em (1000, 0 ) usando
e p
. Suponha um escoamento incompressível.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma expressão para a velocidade horizontal perto da superfície:
Aqui,
depende da distância
conforme
. Sabemos que quando
,
. Nosso objetivo é encontrar a velocidade vertical
, assumindo que a componente
e que
. Além disso, precisamos calcular as componentes de tensão no ponto (1000, 0) usando
e
. Vamos precisar usar conceitos de escoamento incompressível e equilíbrio de incompressibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a constante C da expressão de
. Sabemos que:
Quando
,
. Substituindo esses valores:
Precisamos resolver para
. Calculando
:
Agora, isolando C:
Passo 3
Agora que temos
, podemos expressar
em termos de
:
Isso nos permitirá expressar
para qualquer
no escoamento.
Passo 4
Next, precisamos encontrar a velocidade vertical
. Sabemos que o escoamento é incompressível, o que significa que a divergência do campo de velocidade é zero:
Nosso objetivo é encontrar
, então vamos rearranjar a equação:
Passo 5
Primeiro, vamos calcular
. A expressão para
é:
Substituindo
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, substituímos
na equação para
:
Para encontrar
, integramos essa expressão em relação a
:
Passo 7
Realizando a integração:
Simplificando:
Passo 8
Agora, usamos a condição de contorno
para encontrar
:
Portanto,
.
Passo 9
Assim, a expressão para
fica:
Essa é a velocidade vertical em termos de
e
.
Passo 10
Agora, vamos calcular as componentes de tensão no ponto (1000, 0). As componentes de tensão
num escoamento incompressível são dadas por:
Onde
é a pressão,
é a viscosidade dinâmica, e
é o delta de Kronecker.
Como as coordenadas são (x, y), vamos considerar as componentes
,
e
.
Passo 11
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias no ponto (1000, 0):
-
já calculamos anteriormente. -
é:
No ponto (1000, 0):
- Como
em y=0, temos no ponto.
Passo 12
Agora, calculamos as componentes de tensão:
No ponto (1000, 0):
- Sabemos que
no ponto pode ser calculado substituindo na expressão anteriormente obtida:
Portanto:
-
-
- Para
, precisamos de no ponto (1000, 0):
Logo,
Portanto:
-
sigmayy = -100,000, Pa + 2 times 2 times 10^-5, N cdot s/m^2 times 0 = -100,000, Pa
Resposta
A velocidade vertical é dada por:
No ponto (1000, 0), as componentes de tensão são: