O campo de velocidade perto da superfície é aproximado por , em que . Se em , encontre , supondo que . Mostre também as componentes de tensão em (1000, 0 ) usando e p . Suponha um escoamento incompressível.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma expressão para a velocidade horizontal perto da superfície:
Aqui, depende da distância conforme . Sabemos que quando , . Nosso objetivo é encontrar a velocidade vertical , assumindo que a componente e que . Além disso, precisamos calcular as componentes de tensão no ponto (1000, 0) usando e . Vamos precisar usar conceitos de escoamento incompressível e equilíbrio de incompressibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a constante C da expressão de . Sabemos que:
Quando , . Substituindo esses valores:
Precisamos resolver para . Calculando :
Agora, isolando C:
Passo 3
Agora que temos , podemos expressar em termos de :
Isso nos permitirá expressar para qualquer no escoamento.
Passo 4
Next, precisamos encontrar a velocidade vertical . Sabemos que o escoamento é incompressível, o que significa que a divergência do campo de velocidade é zero:
Nosso objetivo é encontrar , então vamos rearranjar a equação:
Passo 5
Primeiro, vamos calcular . A expressão para é:
Substituindo :
Agora, derivamos em relação a :
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, substituímos na equação para :
Para encontrar , integramos essa expressão em relação a :
Passo 7
Realizando a integração:
Simplificando:
Passo 8
Agora, usamos a condição de contorno para encontrar :
Portanto, .
Passo 9
Assim, a expressão para fica:
Essa é a velocidade vertical em termos de e .
Passo 10
Agora, vamos calcular as componentes de tensão no ponto (1000, 0). As componentes de tensão num escoamento incompressível são dadas por:
Onde é a pressão, é a viscosidade dinâmica, e é o delta de Kronecker.
Como as coordenadas são (x, y), vamos considerar as componentes , e .
Passo 11
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias no ponto (1000, 0):
já calculamos anteriormente.
é:
No ponto (1000, 0):
Como em y=0, temos no ponto.
Passo 12
Agora, calculamos as componentes de tensão:
No ponto (1000, 0):
Sabemos que no ponto pode ser calculado substituindo na expressão anteriormente obtida:
Portanto:
Para , precisamos de no ponto (1000, 0):
Logo,
Portanto:
sigmayy = -100,000, Pa + 2 times 2 times 10^-5, N cdot s/m^2 times 0 = -100,000, Pa
Resposta
A velocidade vertical é dada por:
v(x, y) = 4 y^25 times 0.0318 times x^9/5 - 32 y^315 times (0.0318)^2 times x^21/5