Um campo de velocidade é dado por
. Determine os componentes do vetor aceleração nas direções
e z.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um campo de velocidade definido pelas componentes
,
e
. A tarefa é encontrar as componentes do vetor aceleração nas direções
,
e
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o derivado material da velocidade, que nos dá a aceleração em um campo de fluxo. Precisamos calcular as derivadas parciais das componentes da velocidade em relação a
,
e
, e depois combinar tudo isso para encontrar as componentes da aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o vetor aceleração
em um campo de velocidade. A fórmula geral é:
Como não há dependência do tempo no nosso campo de velocidade, a primeira parte da expressão desaparece. Então, a aceleração fica:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente da velocidade em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula da aceleração para cada componente. A componente
é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 5
Para a componente
:
Substituindo:
Passo 6
Para a componente
:
Substituindo:
Resposta
As componentes do vetor aceleração são: