Um campo de velocidade é dado por u=-x, v=4 x^2 y^2 e w=x-y. Determine os componentes do vetor aceleração nas direções x, y e z.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um campo de velocidade definido pelas componentes , e . A tarefa é encontrar as componentes do vetor aceleração nas direções , e .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o derivado material da velocidade, que nos dá a aceleração em um campo de fluxo. Precisamos calcular as derivadas parciais das componentes da velocidade em relação a , e , e depois combinar tudo isso para encontrar as componentes da aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o vetor aceleração a = partial vpartial t + (v cdot nabla)v em um campo de velocidade. A fórmula geral é:
a = (v cdot nabla)v
Como não há dependência do tempo no nosso campo de velocidade, a primeira parte da expressão desaparece. Então, a aceleração fica:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente da velocidade em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Para partial upartial x = -1, partial upartial y = 0, partial upartial z = 0 :
partial vpartial x = 8xy^2 e, partial vpartial y = 8x^2 y e, partial vpartial z = 0
Para partial wpartial x = 1, partial wpartial y = -1, partial wpartial z = 0 :
Para :

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da aceleração para cada componente. A componente ax = u partial upartial x + v partial upartial y + w partial upartial z é dada por:
ax = (-x)(-1) + (4x^2 y^2 e)(0) + (x - y)(0) = x
Substituindo os valores:

Passo 5

Para a componente ay = u partial vpartial x + v partial vpartial y + w partial vpartial z :
ay = (-x)(8xy^2 e) + (4x^2 y^2 e)(8x^2 y e) + (x - y)(0)
Substituindo:
ay = -8x^2 y^2 e + 32x^4 y^3 e^2

Passo 6

Para a componente az = u partial wpartial x + v partial wpartial y + w partial wpartial z :
az = (-x)(1) + (4x^2 y^2 e)(-1) + (x - y)(0)
Substituindo:
az = -x - 4x^2 y^2 e

Resposta

As componentes do vetor aceleração são:
ax = x
ay = -8x^2 y^2 e + 32x^4 y^3 e^2
az = -x - 4x^2 y^2 e

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