Para o campo velocidade dado por V=4 t x i-2 t^2 y j+4 x z k, pergunta-se:
b) No ponto (x, y, z)=(-1,1,0), calcule: o vetor aceleração e qualquer vetor normal unitário ao vetor acelerção e a direção de maior aceleração ( 3,0 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de velocidade dado por . A pergunta é, no ponto , encontrar o vetor aceleração, um vetor normal unitário a esse vetor aceleração e a direção de maior aceleração. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da velocidade em relação ao tempo para achar a aceleração e depois analisar esse vetor para achar os vetores normais e a direção da maior aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor aceleração V = 4 t x, i - 2 t^2 y, j + 4 x z, k . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de a = dVdt = 4 x, i - 4 t y, j + 0, k em relação a :
Derivando em relação a :
A derivada de em relação a é zero porque não há nessa componente.

Passo 3

Agora, vamos avaliar o vetor aceleração no ponto a = 4 (-1), i - 4 t (1), j + 0, k = -4, i - 4 t, j . Substituindo , e na expressão de :
Então, no ponto , o vetor aceleração é .

Passo 4

Agora precisamos encontrar um vetor normal unitário ao vetor aceleração a cdot n = (-4)(1) + (-4 t)(-1) = -4 + 4 t . Um vetor normal é perpendicular a |n| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2 . Vamos escolher um vetor qualquer que seja perpendicular a nunit = 1raiz2, i - 1raiz2, j . Uma maneira simples de fazer isso é escolher um vetor tal que o produto escalar .
Vamos escolher . Vamos verificar:
Para ser perpendicular, precisamos que , ou seja, . Então, no instante , é perpendicular a .
Agora, vamos normalizar para que seja um vetor unitário:

Passo 5

Por fim, vamos determinar a direção de maior aceleração. A direção de maior aceleração é dada pela orientação do pr��prio vetor aceleração , pois a maior aceleração ocorre na direção em que a aceleração está apontando.
Então, a direção de maior aceleração é a direção de . No instante , por exemplo, , que aponta na direção .

Resposta

No ponto , o vetor aceleração é . Um vetor normal unitário a é no instante . A direção de maior aceleração coincide com a direção de , ou seja, na direção de .

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