Um campo de velocidade é dado por
, em que
e
. Determine a equação das linhas de corrente. Trace algumas linhas de corrente no primeiro quadrante.
R:
R:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente precisa determinar a equação das linhas de corrente para um campo de velocidade específico. Isso faz parte da matéria de Dinâmica dos Fluidos. Para resolver, vamos precisar entender o que são linhas de corrente e como relacioná-las com as componentes do campo de velocidade dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são linhas de corrente. Elas são curvas que mostram a direção que uma partícula de fluido seguiria se estivesse se movendo naquele campo de velocidade. Matematicamente, a inclinação da linha de corrente em qualquer ponto é igual à razão entre as componentes do vetor velocidade nesse ponto. Ou seja:
Onde
e
são as componentes da velocidade nas direções
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos identificar as componentes do campo de velocidade dado no exercício:
Com os valores fornecidos:
Então, temos:
Passo 4
Substituindo
e
na equação das linhas de corrente:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis
e
. Vamos reorganizar a equação:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos simplificar a equação para isolar
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Para facilitar, podemos reescrever a constante
como apenas
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
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,
e
.
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