Um campo de velocidade é dado por V=a x^3 imath+b x y^3 jmath, em que a=1 m^-2 s^-1 e b=1 m^-3 s^-1. Determine a equação das linhas de corrente. Trace algumas linhas de corrente no primeiro quadrante.
R: y=1 / raiz2(ba x+C)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente precisa determinar a equação das linhas de corrente para um campo de velocidade específico. Isso faz parte da matéria de Dinâmica dos Fluidos. Para resolver, vamos precisar entender o que são linhas de corrente e como relacioná-las com as componentes do campo de velocidade dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são linhas de corrente. Elas são curvas que mostram a direção que uma partícula de fluido seguiria se estivesse se movendo naquele campo de velocidade. Matematicamente, a inclinação da linha de corrente em qualquer ponto é igual à razão entre as componentes do vetor velocidade nesse ponto. Ou seja:
dydx = VyVx
Onde e são as componentes da velocidade nas direções e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes do campo de velocidade dado no exercício:
V = a x^3 imath + b x y^3 jmath
Com os valores fornecidos:
a = 1 , m^-2s^-1 e b = 1 , m^-3s^-1
Então, temos:
Vx = a x^3 = x^3
Vy = b x y^3 = x y^3

Passo 4

Substituindo dydx = x y^3x^3 = y^3x^2 e na equação das linhas de corrente:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis dyy^3 = dxx^2 e . Vamos reorganizar a equação:

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação:
integral y^-3 , dy = integral x^-2 , dx
Calculando as integrais:
-12 y^2 = -1x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos simplificar a equação para isolar 12 y^2 = 1x - C . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
12 y^2 = 1x + C
Para facilitar, podemos reescrever a constante 1y^2 = 2x + 2C como apenas :
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 8

Agora, resolvemos para y^2 = 12x + 2C = x2 + 2C x :
y = 1raiz2(ba x + C)
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:

Resposta

y = 1raiz2(ba x + C)

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