Um campo de velocidade é dado por , em que e . Determine a equação das linhas de corrente. Trace algumas linhas de corrente no primeiro quadrante.
R:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente precisa determinar a equação das linhas de corrente para um campo de velocidade específico. Isso faz parte da matéria de Dinâmica dos Fluidos. Para resolver, vamos precisar entender o que são linhas de corrente e como relacioná-las com as componentes do campo de velocidade dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são linhas de corrente. Elas são curvas que mostram a direção que uma partícula de fluido seguiria se estivesse se movendo naquele campo de velocidade. Matematicamente, a inclinação da linha de corrente em qualquer ponto é igual à razão entre as componentes do vetor velocidade nesse ponto. Ou seja:
Onde e são as componentes da velocidade nas direções e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes do campo de velocidade dado no exercício:
Com os valores fornecidos:
Então, temos:

Passo 4

Substituindo e na equação das linhas de corrente:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis e . Vamos reorganizar a equação:

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos simplificar a equação para isolar . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Para facilitar, podemos reescrever a constante como apenas :
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 8

Agora, resolvemos para :
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:

Resposta

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