Um campo de velocidade é definido por . No ponto , calcule:
(a) A velocidade
(b) A aceleração local
© A aceleração convectiva

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe fala sobre um campo de velocidade definido pelas componentes , e . A gente precisa calcular, no ponto :
a) A velocidade
b) A aceleração local
c) A aceleração convectiva
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de campos vetoriais em Mecânica dos Fluidos, como calcular valores em pontos específicos e derivadas parciais que nos ajudarão a encontrar as acelerações.

Passo 2

a) Calculando a velocidade no ponto
A velocidade em um ponto é simplesmente o vetor avaliado nas coordenadas desse ponto.
Vamos substituir , e nas expressões de , e :
Então, a velocidade no ponto é:

Passo 3

b) Calculando a aceleração local
A aceleração local ( ) representa a variação da velocidade no tempo em um ponto fixo no espaço. É dada pela derivada parcial da velocidade em relação ao tempo:
No nosso caso, as componentes , e não dependem do tempo ( ), apenas de e . Isso significa que suas derivadas parciais em relação ao tempo são zero:
Portanto, a aceleração local é:

Passo 4

c) Calculando a aceleração convectiva
A aceleração convectiva ( ) está relacionada às mudanças na velocidade devido ao movimento do fluido no espaço. É calculada usando as derivadas parciais das componentes da velocidade em relação às coordenadas espaciais, multiplicadas pelas próprias componentes de velocidade.
A fórmula geral para a aceleração convectiva é:
Vamos calcular cada derivada:
é
Agora, substituindo no vetor aceleração convectiva:
Substituindo os valores no ponto :

Resposta

a) A velocidade no ponto é .
b) A aceleração local é .
c) A aceleração convectiva é .

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Para os campos de velocidade dados abaixo, determine (as quantidades e são constantes):
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