Um campo de velocidade é definido por u=3 y^2, v=5 x, w=0. No ponto (2,4,0), calcule:
(a) A velocidade
(b) A aceleração local
© A aceleração convectiva

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe fala sobre um campo de velocidade definido pelas componentes , e . A gente precisa calcular, no ponto :
a) A velocidade
b) A aceleração local
c) A aceleração convectiva
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de campos vetoriais em Mecânica dos Fluidos, como calcular valores em pontos específicos e derivadas parciais que nos ajudarão a encontrar as acelerações.

Passo 2

a) Calculando a velocidade no ponto u = 3y^2 = 3 times 4^2 = 3 times 16 = 48
A velocidade em um ponto é simplesmente o vetor v = 5x = 5 times 2 = 10 avaliado nas coordenadas desse ponto.
Vamos substituir w = 0 , V = (48, 10, 0) e nas expressões de , e :
Então, a velocidade no ponto é:

Passo 3

b) Calculando a aceleração local
A aceleração local ( alocal = partial Vpartial t ) representa a variação da velocidade no tempo em um ponto fixo no espaço. É dada pela derivada parcial da velocidade em relação ao tempo:
partial upartial t = 0, partial vpartial t = 0, partial wpartial t = 0
No nosso caso, as componentes alocal = (0, 0, 0) , e não dependem do tempo ( ), apenas de e . Isso significa que suas derivadas parciais em relação ao tempo são zero:
Portanto, a aceleração local é:

Passo 4

c) Calculando a aceleração convectiva
A aceleração convectiva ( aconvectiva = ( u partial upartial x + v partial upartial y + w partial upartial z, u partial vpartial x + v partial vpartial y + w partial vpartial z, u partial wpartial x + v partial wpartial y + w partial wpartial z ) ) está relacionada às mudanças na velocidade devido ao movimento do fluido no espaço. É calculada usando as derivadas parciais das componentes da velocidade em relação às coordenadas espaciais, multiplicadas pelas próprias componentes de velocidade.
A fórmula geral para a aceleração convectiva é:
partial upartial x = partialpartial x(3y^2) = 0
Vamos calcular cada derivada:
partial upartial y = partialpartial y(3y^2) = 6y
partial vpartial x = partialpartial x(5x) = 5
partial vpartial y = partialpartial y(5x) = 0
partial wpartial x = partial wpartial y = partial wpartial z = 0 (pois w = 0 é constante)
aconvectiva = ( u times 0 + v times 6y, u times 5 + v times 0, 0 ) é
Agora, substituindo no vetor aceleração convectiva:
u = 48, v = 10, y = 4
Substituindo os valores no ponto aconvectiva = ( 48 times 0 + 10 times 6 times 4, 48 times 5 + 10 times 0, 0 ) :
aconvectiva = (240, 240, 0)

Resposta

a) A velocidade no ponto é .
b) A aceleração local é .
c) A aceleração convectiva é .

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