Determine a distribuição de pressão ao longo da direção vertical da uma atmosfera isotérmica. Considere que a atmosfera seja constituída de nitrogênio, , e use a aproximação de gás ideal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos como a pressão varia ao longo da direção vertical em uma atmosfera isotérmica, ou seja, com temperatura constante. Vamos usar a aproximação de gás ideal e considerar que a atmosfera é composta de nitrogênio ( ). Para isso, precisamos entender um pouco sobre a Equação de Estado dos Gases Ideais e a Lei de Equilíbrio Hidrostático.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Equação de Estado dos Gases Ideais, que é dada por:
Aqui, é a pressão, é a densidade, é a constante dos gases e é a temperatura.

Passo 3

Como a atmosfera está em equilíbrio, a variação da pressão com a altura é descrita pela Lei de Equilíbrio Hidrostático:
Onde é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Vamos combinar as duas equações. Da Equação de Estado dos Gases Ideais, podemos isolaar :
Substituindo isso na Lei de Equilíbrio Hidrostático:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial que relaciona a pressão com a altura . Podemos reescrever essa equação como:
Isso facilita a integração dos dois lados.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integração resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Podemos chamar de , que é a pressão na altura .

Passo 8

Então, a expressão final para a pressão em função da altura fica:
Isso mostra que a pressão diminui exponencialmente com a altura em uma atmosfera isotérmica.

Resposta

A distribuição de pressão ao longo da direção vertical é dada por:
Onde:
  • é a pressão na superfície ( ),
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a constante dos gases para o nitrogênio,
  • é a temperatura constante da atmosfera,
  • é a altura vertical.

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