Determine a distribuição de pressão ao longo da direção vertical da uma atmosfera isotérmica. Considere que a atmosfera seja constituída de nitrogênio, N2, e use a aproximação de gás ideal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos como a pressão varia ao longo da direção vertical em uma atmosfera isotérmica, ou seja, com temperatura constante. Vamos usar a aproximação de gás ideal e considerar que a atmosfera é composta de nitrogênio ( N2). Para isso, precisamos entender um pouco sobre a Equação de Estado dos Gases Ideais e a Lei de Equilíbrio Hidrostático.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Equação de Estado dos Gases Ideais, que é dada por:
p = rho R T
Aqui, p é a pressão, rho é a densidade, R é a constante dos gases e T é a temperatura.

Passo 3

Como a atmosfera está em equilíbrio, a variação da pressão com a altura z é descrita pela Lei de Equilíbrio Hidrostático:
dpdz = -rho g
Onde g é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Vamos combinar as duas equações. Da Equação de Estado dos Gases Ideais, podemos isolaar rho:
rho = pR T
Substituindo isso na Lei de Equilíbrio Hidrostático:
dpdz = -pR T g

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial que relaciona a pressão p com a altura z. Podemos reescrever essa equação como:
dpp = -gR T dz
Isso facilita a integração dos dois lados.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação:
integral 1p dp = -gR T integral dz
A integração resulta em:
ln p = -gR T z + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
p = e^-gR T z + C = e^C e^-gR T z
Podemos chamar e^C de p0, que é a pressão na altura z = 0.

Passo 8

Então, a expressão final para a pressão em função da altura z fica:
p(z) = p0 e^-gR T z
Isso mostra que a pressão diminui exponencialmente com a altura em uma atmosfera isotérmica.

Resposta

A distribuição de pressão ao longo da direção vertical é dada por:
p(z) = p0 , e^-gR T z
Onde:
  • p0 é a pressão na superfície ( z = 0),
  • g é a aceleração da gravidade,
  • R é a constante dos gases para o nitrogênio,
  • T é a temperatura constante da atmosfera,
  • z é a altura vertical.

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