Determine a distribuição de pressão ao longo da direção vertical da uma atmosfera isotérmica. Considere que a atmosfera seja constituída de nitrogênio,
, e use a aproximação de gás ideal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos como a pressão varia ao longo da direção vertical em uma atmosfera isotérmica, ou seja, com temperatura constante. Vamos usar a aproximação de gás ideal e considerar que a atmosfera é composta de nitrogênio (
). Para isso, precisamos entender um pouco sobre a Equação de Estado dos Gases Ideais e a Lei de Equilíbrio Hidrostático.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Equação de Estado dos Gases Ideais, que é dada por:
Aqui,
é a pressão,
é a densidade,
é a constante dos gases e
é a temperatura.
Passo 3
Como a atmosfera está em equilíbrio, a variação da pressão com a altura
é descrita pela Lei de Equilíbrio Hidrostático:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 4
Vamos combinar as duas equações. Da Equação de Estado dos Gases Ideais, podemos isolaar
:
Substituindo isso na Lei de Equilíbrio Hidrostático:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial que relaciona a pressão
com a altura
. Podemos reescrever essa equação como:
Isso facilita a integração dos dois lados.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integração resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Podemos chamar
de
, que é a pressão na altura
.
Passo 8
Então, a expressão final para a pressão em função da altura
fica:
Isso mostra que a pressão diminui exponencialmente com a altura em uma atmosfera isotérmica.
Resposta
A distribuição de pressão ao longo da direção vertical é dada por:
Onde:
-
é a pressão na superfície ( ), -
é a aceleração da gravidade, -
é a constante dos gases para o nitrogênio, -
é a temperatura constante da atmosfera, -
é a altura vertical.
Exercícios relacionados
Para os campos de velocidade dados abaixo, determine (as quantidades
e
são constantes):
ii. Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê.
ii. Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê.
Um campo de velocidade é definido por
. No ponto
, calcule:
(a) A velocidade
(b) A aceleração local
© A aceleração convectiva
(a) A velocidade
(b) A aceleração local
© A aceleração convectiva
Considerando uma distribuição massa esfericamente simétrica e um fluido incompressível e assumindo que o fluido encontra-se em equilíbrio dinâmico, determine a distribuição de pressão radial,
, neste caso.
Um dispositivo cilindro-pistão contém 1 kg de ar a 100 kPa e 300 K . Através de um processo politrópico reversível
, o ar é comprimido até que a sua temperatura seja 500 K . Assumindo que qualquer transferência de calor para o ar provém de um reservatório térmico a
e, se cedida pelo ar, efetua-se com o ambiente a 300 K :
b) Calcule o trabalho efetuado.
b) Calcule o trabalho efetuado.