O campo de velocidade do escoamento bidimensional e incompressível de glicerina a
é descrito por
onde
e
são dados em metros e a velocidade em
. Determine as tensões
e
no ponto (
) se a pressão neste ponto é igual a 6 kPa .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o campo de velocidade de um fluxo bidimensional e incompressível de glicerina a 20°C. A gente precisa determinar as tensões
,
e
no ponto específico
, sabendo que a pressão nesse ponto é de 6 kPa. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de mecânica dos fluidos, especialmente sobre como calcular as tensões em um fluido em movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um fluido newtoniano incompressível, as tensões podem ser relacionadas com as derivadas das componentes da velocidade. As fórmulas gerais para as tensões
,
e
são:
Aqui,
é a pressão,
é a viscosidade dinâmica da glicerina,
é a componente da velocidade na direção
e
na direção
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias das componentes da velocidade. As funções dadas são:
Ou seja, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Precisamos conhecer o valor da viscosidade dinâmica
da glicerina a 20°C. Geralmente, a viscosidade da glicerina a essa temperatura é aproximadamente
. Se tiver outro valor no enunciado, use esse, mas vamos seguir com esse valor padrão.
Passo 5
Agora, substituímos o ponto específico
nas derivadas calculadas:
Passo 6
Substituímos esses valores nas fórmulas das tensões:
Resposta
As tensões no ponto
são: