O campo de velocidade do escoamento bidimensional e incompressível de glicerina a 20^circ C é descrito por dotV=(12 x y^2-6 x^3) i+(18 x^2 y-4 y^3) j onde x e y são dados em metros e a velocidade em m / s. Determine as tensões sigmax x, sigmay y e taux y no ponto ( x=0,5 m, y=1,0 m ) se a pressão neste ponto é igual a 6 kPa .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o campo de velocidade de um fluxo bidimensional e incompressível de glicerina a 20°C. A gente precisa determinar as tensões , e no ponto específico , sabendo que a pressão nesse ponto é de 6 kPa. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de mecânica dos fluidos, especialmente sobre como calcular as tensões em um fluido em movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um fluido newtoniano incompressível, as tensões podem ser relacionadas com as derivadas das componentes da velocidade. As fórmulas gerais para as tensões sigmaxx = -p + 2mu partial upartial x , sigmayy = -p + 2mu partial vpartial y e tauxy = mu ( partial upartial y + partial vpartial x ) são:
Aqui, é a pressão, é a viscosidade dinâmica da glicerina, é a componente da velocidade na direção e na direção .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias das componentes da velocidade. As funções dadas são:
dotV = (12xy^2 - 6x^3) i + (18x^2y - 4y^3) j
Ou seja, temos:
u = 12xy^2 - 6x^3
v = 18x^2y - 4y^3
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial upartial x = 12y^2 - 18x^2
partial upartial y = 24xy
partial vpartial x = 36xy
partial vpartial y = 18x^2 - 12y^2

Passo 4

Precisamos conhecer o valor da viscosidade dinâmica da glicerina a 20°C. Geralmente, a viscosidade da glicerina a essa temperatura é aproximadamente . Se tiver outro valor no enunciado, use esse, mas vamos seguir com esse valor padrão.

Passo 5

Agora, substituímos o ponto específico partial upartial x = 12(1)^2 - 18(0,5)^2 = 12 - 18(0,25) = 12 - 4,5 = 7,5 , s^-1 nas derivadas calculadas:
partial vpartial y = 18(0,5)^2 - 12(1)^2 = 18(0,25) - 12 = 4,5 - 12 = -7,5 , s^-1
partial upartial y = 24(0,5)(1) = 12 , s^-1
partial vpartial x = 36(0,5)(1) = 18 , s^-1

Passo 6

Substituímos esses valores nas fórmulas das tensões:
sigmaxx = -p + 2mu partial upartial x = -6000 + 2(1,49)(7,5) = -6000 + 2(11,175) = -6000 + 22,35 = -5977,65 , Pa
sigmayy = -p + 2mu partial vpartial y = -6000 + 2(1,49)(-7,5) = -6000 + 2(-11,175) = -6000 - 22,35 = -6022,35 , Pa
tauxy = mu ( partial upartial y + partial vpartial x ) = 1,49 (12 + 18) = 1,49 times 30 = 44,7 , Pa

Resposta

As tensões no ponto sigmaxx = -5977,65, Pa são:
sigmayy = -6022,35, Pa
tauxy = 44,7, Pa

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