A componente x da velocidade num campo de escoamento permanente, incompressível, no plano x y, é u=A / x^2, onde A=2 m^3 / s e x é medido em metros.
Encontre a mais simples componente y da velocidade deste campo de escoamento. Avalie a aceleração de uma partícula fluida no ponto (x, y)=(1,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um campo de escoamento contínuo e incompressível no plano . A componente da velocidade é dada por , onde e está em metros. Precisamos encontrar a componente da velocidade e depois calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto . Vamos usar conceitos de campos de velocidade, escoamento incompressível e cálculo de aceleração em fluidos.

Passo 2

Primeiro, como o escoamento é incompressível, a divergência do campo de velocidade deve ser zero. Isso significa que:
partial upartial x + partial vpartial y = 0
Já conhecemos partial upartial x = ddx(Ax^2) = -2Ax^3 . Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 3

Usando a condição de incompressibilidade:
partial upartial x + partial vpartial y = 0 Rightarrow -2Ax^3 + partial vpartial y = 0
Isso implica que:
partial vpartial y = 2Ax^3

Passo 4

Para encontrar v = integral 2Ax^3 , dy = 2Ax^3 y + C(x) , precisamos integrar v = 2Ax^3 y em relação a :
Aqui, é uma constante de integração que pode depender de . Porém, para simplificar e encontrar a componente mais simples , assumimos .
Portanto:

Passo 5

Agora que temos as componentes V = ( Ax^2, 2Ax^3 y ) e das velocidades, podemos expressar o campo de velocidade completo:

Passo 6

Vamos calcular a aceleração a = partial Vpartial t + V cdot nabla V de uma partícula de fluido. A aceleração em um campo de velocidade é dada por:
a = V cdot nabla V
Como o escoamento é permanente (estacionário), . Então:

Passo 7

Vamos calcular cada componente da aceleração. Primeiro, precisamos das derivadas parciais de partial upartial x = -2Ax^3, partial upartial y = 0 e partial vpartial x = -6Ax^4 y, partial vpartial y = 2Ax^3 :
ax = u partial upartial x + v partial upartial y = u cdot (-2Ax^3) + v cdot 0 = -2A ux^3
ay = u partial vpartial x + v partial vpartial y = u cdot (-6A yx^4) + v cdot 2Ax^3
Agora, a aceleração em cada direção:

Passo 8

Vamos substituir ax = -2A cdot Ax^2x^3 = -2A^2x^5 e ay = Ax^2 cdot (-6A yx^4) + 2A yx^3 cdot 2Ax^3 = -6A^2 yx^6 + 4A^2 yx^6 = -2A^2 yx^6 nas expressões de e :
Para :
Para :

Passo 9

Agora, vamos avaliar a aceleração no ponto ax = -2 cdot (2)^21^5 = -81 = -8 , m/s^2 . Substituindo ay = -2 cdot (2)^2 cdot 31^6 = -241 = -24 , m/s^2 , e :
Para :
Para :

Resposta

A componente da velocidade é . No ponto , a aceleração da partícula fluida é .

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