A componente x da velocidade num campo de escoamento permanente, incompressível, no plano , é , onde e é medido em metros.
Encontre a mais simples componente y da velocidade deste campo de escoamento. Avalie a aceleração de uma partícula fluida no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um campo de escoamento contínuo e incompressível no plano . A componente da velocidade é dada por , onde e está em metros. Precisamos encontrar a componente da velocidade e depois calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto . Vamos usar conceitos de campos de velocidade, escoamento incompressível e cálculo de aceleração em fluidos.

Passo 2

Primeiro, como o escoamento é incompressível, a divergência do campo de velocidade deve ser zero. Isso significa que:
Já conhecemos . Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 3

Usando a condição de incompressibilidade:
Isso implica que:

Passo 4

Para encontrar , precisamos integrar em relação a :
Aqui, é uma constante de integração que pode depender de . Porém, para simplificar e encontrar a componente mais simples , assumimos .
Portanto:

Passo 5

Agora que temos as componentes e das velocidades, podemos expressar o campo de velocidade completo:

Passo 6

Vamos calcular a aceleração de uma partícula de fluido. A aceleração em um campo de velocidade é dada por:
Como o escoamento é permanente (estacionário), . Então:

Passo 7

Vamos calcular cada componente da aceleração. Primeiro, precisamos das derivadas parciais de e :
Agora, a aceleração em cada direção:

Passo 8

Vamos substituir e nas expressões de e :
Para :
Para :

Passo 9

Agora, vamos avaliar a aceleração no ponto . Substituindo , e :
Para :
Para :

Resposta

A componente da velocidade é . No ponto , a aceleração da partícula fluida é .

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