A componente x da velocidade num campo de escoamento permanente, incompressível, no plano
, é
, onde
e
é medido em metros.
Encontre a mais simples componente y da velocidade deste campo de escoamento. Avalie a aceleração de uma partícula fluida no ponto
.
Encontre a mais simples componente y da velocidade deste campo de escoamento. Avalie a aceleração de uma partícula fluida no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um campo de escoamento contínuo e incompressível no plano
. A componente
da velocidade é dada por
, onde
e
está em metros. Precisamos encontrar a componente
da velocidade e depois calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto
. Vamos usar conceitos de campos de velocidade, escoamento incompressível e cálculo de aceleração em fluidos.
Passo 2
Primeiro, como o escoamento é incompressível, a divergência do campo de velocidade deve ser zero. Isso significa que:
Já conhecemos
. Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 3
Usando a condição de incompressibilidade:
Isso implica que:
Passo 4
Para encontrar
, precisamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma constante de integração que pode depender de
. Porém, para simplificar e encontrar a componente mais simples
, assumimos
.
Portanto:
Passo 5
Agora que temos as componentes
e
das velocidades, podemos expressar o campo de velocidade completo:
Passo 6
Vamos calcular a aceleração
de uma partícula de fluido. A aceleração em um campo de velocidade é dada por:
Como o escoamento é permanente (estacionário),
. Então:
Passo 7
Vamos calcular cada componente da aceleração. Primeiro, precisamos das derivadas parciais de
e
:
Agora, a aceleração em cada direção:
Passo 8
Vamos substituir
e
nas expressões de
e
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Agora, vamos avaliar a aceleração no ponto
. Substituindo
,
e
:
Para
:
Para
:
Resposta
A componente
da velocidade é
. No ponto
, a aceleração da partícula fluida é
.