A massa específica de um fluido varia linearmente em relação ao eixo
num escoamento bidimensional e permanente, ou seja,
(
é uma constante). Se o componente do vetor velocidade na direção
é dado por
, determine a expressão para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou trata de um escoamento bidimensional e permanente, onde a densidade do fluido varia linearmente em relação ao eixo
. A gente tem que encontrar a expressão para a componente da velocidade na direção
, que é o
. Para resolver isso, vamos usar a equação da continuidade para fluxos com densidade variável. Vamos precisar de conhecimentos de cálculo diferencial e das leis de conservação de massa em fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação da continuidade para um escoamento bidimensional com densidade variável. Essa equação expressa a conservação de massa e é dada por:
Aqui,
é a densidade do fluido,
é a componente da velocidade na direção
, e
é a componente na direção
.
Passo 3
Vamos substituir os valores que já conhecemos na equação da continuidade. Sabemos que:
Substituindo na equação:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
- Primeira derivada parcial:
Isso porque
e
são constantes em relação a
.
- Segunda derivada parcial:
Aqui,
é tratado como uma constante em relação a
.
Passo 5
Substituindo as derivadas na equação da continuidade:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por
:
Passo 6
Isolando a derivada de
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
para encontrar
:
Como
é constante em relação a
, podemos tirá-lo da integral:
Integrando:
Onde
é a constante de integração que pode depender de
.
Passo 8
Para determinar a constante
, precisamos considerar as condições de contorno ou adicionais do problema. Como o enunciado não forneceu informações adicionais sobre
em termos de
ou
, podemos assumir que
para simplificar a solução.
Resposta
A expressão para a componente
da velocidade é:
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.
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, é
, onde
e
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onde
e
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e
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