A massa específica de um fluido varia linearmente em relação ao eixo x num escoamento bidimensional e permanente, ou seja, rho=A x ( A é uma constante). Se o componente do vetor velocidade na direção x é dado por u=y, determine a expressão para v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou trata de um escoamento bidimensional e permanente, onde a densidade do fluido varia linearmente em relação ao eixo . A gente tem que encontrar a expressão para a componente da velocidade na direção , que é o . Para resolver isso, vamos usar a equação da continuidade para fluxos com densidade variável. Vamos precisar de conhecimentos de cálculo diferencial e das leis de conservação de massa em fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação da continuidade para um escoamento bidimensional com densidade variável. Essa equação expressa a conservação de massa e é dada por:
partial (rho u)partial x + partial (rho v)partial y = 0
Aqui, é a densidade do fluido, é a componente da velocidade na direção , e é a componente na direção .

Passo 3

Vamos substituir os valores que já conhecemos na equação da continuidade. Sabemos que:
rho = A x e u = y
Substituindo na equação:
partial (A x cdot y)partial x + partial (A x cdot v)partial y = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Primeira derivada parcial:
partial (A x cdot y)partial x = A y
Isso porque partial (A x cdot v)partial y = A x cdot partial vpartial y e são constantes em relação a .
  1. Segunda derivada parcial:
Aqui, é tratado como uma constante em relação a .

Passo 5

Substituindo as derivadas na equação da continuidade:
A y + A x cdot partial vpartial y = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por y + x cdot partial vpartial y = 0 :

Passo 6

Isolando a derivada de x cdot partial vpartial y = -y :
partial vpartial y = -yx
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a v = integral -yx , dy para encontrar v = -1x integral y , dy :
v = -1x cdot y^22 + C(x)
Como é constante em relação a , podemos tirá-lo da integral:
Integrando:
Onde é a constante de integração que pode depender de .

Passo 8

Para determinar a constante , precisamos considerar as condições de contorno ou adicionais do problema. Como o enunciado não forneceu informações adicionais sobre em termos de ou , podemos assumir que para simplificar a solução.

Resposta

A expressão para a componente v = -y^22x da velocidade é:

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