Um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional é dado pelos seguintes componentes no plano xy:
Calcule o campo de aceleração (encontre expressões para as componentes da aceleração ax e ay), e calcule a aceleração no ponto
(R.
e
(R.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional, com as componentes
e
dadas. O que precisamos fazer é encontrar as componentes da aceleração
e
desse campo e, depois, calcular esses valores no ponto específico
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a derivada de um campo de velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a aceleração em um campo de velocidade. A aceleração
é dada pela derivada do campo de velocidade em relação ao tempo mais a derivada convectiva. Mas como o campo é estacionário (não muda com o tempo), a parte da derivada temporal desaparece. Então, a fórmula fica:
Isso significa que vamos multiplicar as componentes de velocidade
e
pelas suas respectivas derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais das componentes da velocidade.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da aceleração.
Para a componente
:
Para a componente
:
Passo 5
Vamos calcular
e
no ponto
. Primeiro, encontramos os valores de
e
nesse ponto.
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, substituímos
e
nas expressões de
e
:
Para
:
Para
:
Resposta
A aceleração no ponto
é: