Um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional é dado pelos seguintes componentes no plano xy:
u=0.205+0.97 x+0.851 y v=-0.509+0.953 x-0.97 y
Calcule o campo de aceleração (encontre expressões para as componentes da aceleração ax e ay), e calcule a aceleração no ponto (x, y)=(2,1.5)
(R. ax=3,27 e ay=3,32)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional, com as componentes e dadas. O que precisamos fazer é encontrar as componentes da aceleração e desse campo e, depois, calcular esses valores no ponto específico . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a derivada de um campo de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a aceleração em um campo de velocidade. A aceleração a = u partial upartial x + v partial upartial y é dada pela derivada do campo de velocidade em relação ao tempo mais a derivada convectiva. Mas como o campo é estacionário (não muda com o tempo), a parte da derivada temporal desaparece. Então, a fórmula fica:
Isso significa que vamos multiplicar as componentes de velocidade e pelas suas respectivas derivadas parciais em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais das componentes da velocidade.
Para partial upartial x = 0.97 e partial upartial y = 0.851 :
partial vpartial x = 0.953 e partial vpartial y = -0.97
Para :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da aceleração.
Para a componente ax = u cdot partial upartial x + v cdot partial upartial y = u cdot 0.97 + v cdot 0.851 :
ay = u cdot partial vpartial x + v cdot partial vpartial y = u cdot 0.953 + v cdot (-0.97)
Para a componente :

Passo 5

Vamos calcular u = 0.205 + 0.97 cdot 2 + 0.851 cdot 1.5 = 0.205 + 1.94 + 1.2765 = 3.4215 e v = -0.509 + 0.953 cdot 2 - 0.97 cdot 1.5 = -0.509 + 1.906 - 1.455 = -0.058 no ponto . Primeiro, encontramos os valores de e nesse ponto.
Para :
Para :

Passo 6

Agora, substituímos ax = 3.4215 cdot 0.97 + (-0.058) cdot 0.851 = 3.3173 - 0.0493 = 3.268 approx 3,27 e ay = 3.4215 cdot 0.953 + (-0.058) cdot (-0.97) = 3.2587 + 0.0563 = 3.315 approx 3,32 nas expressões de e :
Para :
Para :

Resposta

A aceleração no ponto ax = 3,27 e ay = 3,32 é:

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