Um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional é dado pelas seguintes componentes no plano x y :
u=1.85+2.33 x+0.656 y
v=0.754-2.18 x-2.33 y
Calcule o campo de aceleração (encontre expressões para os componentes da aceleração ax e ay ), e calcule a aceleração no ponto (x, y)=(-1,2) (R ax=0,806 e ay=2,21)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional nas direções e . Precisamos calcular o campo de aceleração, ou seja, as componentes e , e depois encontrar a aceleração no ponto específico . Para isso, vamos usar conceitos de Mecânica dos Fluidos, especificamente as equações de aceleração para fluxos em duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a aceleração em um campo de velocidade. Em um fluxo bidimensional, as componentes da aceleração ( ax = u partial upartial x + v partial upartial y e ay = u partial vpartial x + v partial vpartial y ) são dadas por:
Aqui, e são as componentes da velocidade nas direções e , respectivamente, e as derivadas parciais representam como a velocidade muda em cada direção.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para encontrar u = 1.85 + 2.33x + 0.656y e v = 0.754 - 2.18x - 2.33y .
Dadas as componentes da velocidade:
partial upartial x = 2.33
partial upartial y = 0.656
Primeiro, calculamos as derivadas de partial vpartial x = -2.18 :
partial vpartial y = -2.33
Agora, as derivadas de :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas nas fórmulas das componentes de aceleração.
Para ax = u cdot partial upartial x + v cdot partial upartial y = u cdot 2.33 + v cdot 0.656 :
ay = u cdot partial vpartial x + v cdot partial vpartial y = u cdot (-2.18) + v cdot (-2.33)
Para :

Passo 5

Agora, vamos calcular a aceleração no ponto u = 1.85 + 2.33(-1) + 0.656(2) = 1.85 - 2.33 + 1.312 = 0.832 .
Primeiro, encontramos os valores de v = 0.754 - 2.18(-1) - 2.33(2) = 0.754 + 2.18 - 4.66 = -1.726 e ax = 0.832 cdot 2.33 + (-1.726) cdot 0.656 approx 1.941 + (-1.132) = 0.809 nesse ponto:
ay = 0.832 cdot (-2.18) + (-1.726) cdot (-2.33) approx -1.814 + 4.020 = 2.206
Agora, substituímos esses valores nas expressões de e :

Resposta

A aceleração no ponto ax = 0.81 e ay = 2.21 é aproximadamente:

Exercícios relacionados