Um campo de velocidade na região mostrada dado por V=(a jmath+b y k), em que a=10 m / s e b=5 s^-1. Para o volume de controle triangular de 1 m times 1 m (com profundidade w=1 m perpendicular ao diagrama), um elemento de área (1) pode ser representado por d A1= w d z jmath-w d y k e um elemento de área (2) por d A2= -w d y k.
c) Encontre uma expressão para V cdot d A2 ; R:-5 y d y

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um campo de velocidade dado por , onde e . Estamos analisando um volume de controle triangular com dimensões e profundidade . O exercício nos pede para encontrar a expressão para o produto escalar .
Conteúdos envolvidos:
  • Produto escalar de vetores.
  • Campos de velocidade em dinâmicas de fluidos.
Para resolver isso, vamos calcular o produto escalar entre o vetor velocidade e o elemento de área .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as expressões dos vetores envolvidos:
V = a, jmath + b, y, k
dA2 = -w, dy, k
Aqui, e são os vetores unitários nas direções y e z, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula do produto escalar entre dois vetores A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz e V cdot dA2 = (a, jmath + b, y, k) cdot (-w, dy, k) :
No nosso caso, temos:

Passo 4

Vamos identificar as componentes de cada vetor:
Para :
  • Componente x: 0
  • Componente y:
  • Componente z:
Para :
  • Componente x: 0
  • Componente y: 0
  • Componente z:

Passo 5

Aplicando o produto escalar:
V cdot dA2 = (0)(0) + (a)(0) + (b, y)(-w, dy)
V cdot dA2 = -b, w, y, dy

Passo 6

Substituindo os valores de b = 5 , s^-1, w = 1 , m e V cdot dA2 = -5 times 1 times y, dy :
V cdot dA2 = -5, y, dy

Resposta

V cdot dA2 = -5, y, dy

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