Um campo de velocidade na região mostrada dado por V=(a jmath+b y k), em que a=10 m / s e b=5 s^-1. Para o volume de controle triangular de 1 m times 1 m (com profundidade w=1 m perpendicular ao diagrama), um elemento de área (1) pode ser representado por d A1= w d z jmath-w d y k e um elemento de área (2) por d A2= -w d y k.
c) Encontre uma expressão para V cdot d A2 ; R:-5 y d y

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um campo de velocidade dado por , onde e . Estamos analisando um volume de controle triangular com dimensões e profundidade . O exercício nos pede para encontrar a expressão para o produto escalar .
Conteúdos envolvidos:
  • Produto escalar de vetores.
  • Campos de velocidade em dinâmicas de fluidos.
Para resolver isso, vamos calcular o produto escalar entre o vetor velocidade e o elemento de área .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as expressões dos vetores envolvidos:
V = a, jmath + b, y, k
dA2 = -w, dy, k
Aqui, e são os vetores unitários nas direções y e z, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula do produto escalar entre dois vetores A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz e V cdot dA2 = (a, jmath + b, y, k) cdot (-w, dy, k) :
No nosso caso, temos:

Passo 4

Vamos identificar as componentes de cada vetor:
Para :
  • Componente x: 0
  • Componente y:
  • Componente z:
Para :
  • Componente x: 0
  • Componente y: 0
  • Componente z:

Passo 5

Aplicando o produto escalar:
V cdot dA2 = (0)(0) + (a)(0) + (b, y)(-w, dy)
V cdot dA2 = -b, w, y, dy

Passo 6

Substituindo os valores de b = 5 , s^-1, w = 1 , m e V cdot dA2 = -5 times 1 times y, dy :
V cdot dA2 = -5, y, dy

Resposta

V cdot dA2 = -5, y, dy

Exercícios relacionados

Em uma usina hidroelétrica 100 m^3 / s de água escoam de uma elevação de 120 m até uma turbina, onde energia elétrica é gerada. A perda de carga irreversível total no sistema de tubulação, do ponto de entrada até a saída, é de 35 m . Se a eficiência da turbina é de 80 %, estime a saída de potência elétrica em W.
Dados: We=Wt / eta ; We=W bomba cdot eta ; rhoH2 O=998 kg / m^3
R: 66,57 MW.
Um tanque cilíndrico de 4 ft de altura e 3 ft de diâmetro está, inicialmente, cheio de água. Agora, a tampa de descarga próxima a parte inferior do tanque é retirada e sai um jato de água cuja velocidade média é v=raiz2 g h, onde h é a altura de água no tanque, medida a partir do centro do orifício de descarga. Sabendo que o diâmetro do orifício é 0,5 in, determine o tempo necessário para que o nível de água no tanque caia para 2 ft .
R: 0,21 \mathrm{~h}.
Um fluido incompressível escoa em regime permanente na região de entrada de um tubo circular de raio R=75 mm. A vazão é 0,1 m^3 / s. Encontre a velocidade uniforme U1 na entrada. A distribuição de velocidades em uma seção a jusante é
uu máx =1-(rR)^2 á
Avalie a velocidade máxima na seção a jusante. Calcule a queda de pressão que existiria no tubo, se o atrito viscoso nas paredes fosse desprezível. R: 11,3 m/s; 9 , 0 8 k P a
18) Um jato de água é dirigido contra uma pá defletora, que poderia ser uma pá de turbina ou outra peça de uma máquina hidráulica qualquer. A água sai de um bocal estacionário, de 40 mm de diâmetro, com uma velocidade de 25 m / s e entra na pá tangente à sua superfície em A. A superfície interna da pá em B faz um ângulo theta=150^circ com a direção x. Calcule a força que deve ser aplicada sobre a pá para manter sua velocidade constante em
Dê exemplos de transferência de massa (a) líquido para gás, (b) sólido para gás, © sólido para líquido e (d) gás para líquido.