Um campo de velocidade na região mostrada dado por
, em que
e
. Para o volume de controle triangular de
(com profundidade
perpendicular ao diagrama), um elemento de área (1) pode ser representado por
e um elemento de área (2) por
.
c) Encontre uma expressão para
c) Encontre uma expressão para
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um campo de velocidade dado por
, onde
e
. Estamos analisando um volume de controle triangular com dimensões
e profundidade
. O exercício nos pede para encontrar a expressão para o produto escalar
.
Conteúdos envolvidos:
- Produto escalar de vetores.
- Campos de velocidade em dinâmicas de fluidos.
Para resolver isso, vamos calcular o produto escalar entre o vetor velocidade
e o elemento de área
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as expressões dos vetores envolvidos:
Aqui,
e
são os vetores unitários nas direções y e z, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula do produto escalar entre dois vetores
e
:
No nosso caso, temos:
Passo 4
Vamos identificar as componentes de cada vetor:
Para
:
- Componente x: 0
- Componente y:
- Componente z:
Para
:
- Componente x: 0
- Componente y: 0
- Componente z:
Passo 5
Aplicando o produto escalar:
Passo 6
Substituindo os valores de
e
: