Um tanque cilíndrico de 4 ft de altura e 3 ft de diâmetro está, inicialmente, cheio de água. Agora, a tampa de descarga próxima a parte inferior do tanque é retirada e sai um jato de água cuja velocidade média é
, onde h é a altura de água no tanque, medida a partir do centro do orifício de descarga. Sabendo que o diâmetro do orifício é 0,5 in, determine o tempo necessário para que o nível de água no tanque caia para 2 ft .
R: 0,21 \mathrm{~h}.
R: 0,21 \mathrm{~h}.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque cilíndrico com altura de 4 pés e diâmetro de 3 pés, cheio de água. Queremos saber quanto tempo leva para a altura da água cair de 4 pés para 2 pés quando a água começa a escoar por um orifício na parte inferior. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática dos fluidos, especificamente a Lei de Torricelli, que nos ajuda a relacionar a velocidade de saída da água com a altura da coluna de água.
Passo 2
Vamos começar determinando a área do orifício por onde a água está saindo. O diâmetro do orifício é de 0,5 polegadas, então primeiro precisamos converter isso para pés:
Agora, calculamos o raio:
A área
do orifício é:
Passo 3
A velocidade média da água saindo é dada por:
onde
é a aceleração da gravidade (
) e
é a altura da água acima do orifício. Mas como estamos lidando com unidades diferentes, vamos manter
em pés por segundo ao quadrado.
Passo 4
A taxa de saída de volume
é igual à área do orifício multiplicada pela velocidade da água:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.
Passo 5
Como o tanque é cilíndrico, o volume
da água é:
onde
é o raio do tanque. O diâmetro do tanque é 3 pés, então:
Portanto,
Derivando em relação ao tempo:
Passo 6
Igualando as duas expressões para
:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, separando as variáveis para integrar:
Integrando de
para
pés e de
para
:
Calculando as integrais:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Resposta
O tempo necessário é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Água (
) está escoando ao longo de uma tubulação com diâmetro uniforme. A pressão na entrada é
. Esta tubulação se conecta a uma bomba que fornece 155,4
ao escoamento do fluido na tubulação. A tubulação de saída da bomba tem a mesma dimensão da entrada, no entanto, ela está
acima da entrada. Sabe-se que a pressão na saída é 137,8 KPa. Calcule a energia perdida devido as forças de atrito.
R: .
R:
Um cotovelo redutor é usado para defletir de
o escoamento de água a uma taxa de 14
em um tubo horizontal ao mesmo tempo que o acelera. O cotovelo descarrega água na atmosfera. A área da seção transversal do cotovelo é de
na entrada e
na saída. A diferença de elevação entre os centros da saída e entrada é de 30 cm . O peso do cotovelo e da água nela contida são desprezíveis. Determine: A pressão manométrica no centro da entrada do cotovelo;
Em uma usina hidroelétrica
de água escoam de uma elevação de 120 m até uma turbina, onde energia elétrica é gerada. A perda de carga irreversível total no sistema de tubulação, do ponto de entrada até a saída, é de 35 m . Se a eficiência da turbina é de
, estime a saída de potência elétrica em W.
Dados:
R: 66,57 MW.
Dados:
R: 66,57 MW.
Um campo de velocidade na região mostrada dado por
, em que
e
. Para o volume de controle triangular de
(com profundidade
perpendicular ao diagrama), um elemento de área (1) pode ser representado por
e um elemento de área (2) por
.
c) Encontre uma expressão para
c) Encontre uma expressão para