Um tanque cilíndrico de 4 ft de altura e 3 ft de diâmetro está, inicialmente, cheio de água. Agora, a tampa de descarga próxima a parte inferior do tanque é retirada e sai um jato de água cuja velocidade média é
, onde h é a altura de água no tanque, medida a partir do centro do orifício de descarga. Sabendo que o diâmetro do orifício é 0,5 in, determine o tempo necessário para que o nível de água no tanque caia para 2 ft .
R: 0,21 \mathrm{~h}.
R: 0,21 \mathrm{~h}.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque cilíndrico com altura de 4 pés e diâmetro de 3 pés, cheio de água. Queremos saber quanto tempo leva para a altura da água cair de 4 pés para 2 pés quando a água começa a escoar por um orifício na parte inferior. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática dos fluidos, especificamente a Lei de Torricelli, que nos ajuda a relacionar a velocidade de saída da água com a altura da coluna de água.
Passo 2
Vamos começar determinando a área do orifício por onde a água está saindo. O diâmetro do orifício é de 0,5 polegadas, então primeiro precisamos converter isso para pés:
Agora, calculamos o raio:
A área
do orifício é:
Passo 3
A velocidade média da água saindo é dada por:
onde
é a aceleração da gravidade (
) e
é a altura da água acima do orifício. Mas como estamos lidando com unidades diferentes, vamos manter
em pés por segundo ao quadrado.
Passo 4
A taxa de saída de volume
é igual à área do orifício multiplicada pela velocidade da água:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.
Passo 5
Como o tanque é cilíndrico, o volume
da água é:
onde
é o raio do tanque. O diâmetro do tanque é 3 pés, então:
Portanto,
Derivando em relação ao tempo:
Passo 6
Igualando as duas expressões para
:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, separando as variáveis para integrar:
Integrando de
para
pés e de
para
:
Calculando as integrais:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Resposta
O tempo necessário é aproximadamente
.