Um tanque cilíndrico de 4 ft de altura e 3 ft de diâmetro está, inicialmente, cheio de água. Agora, a tampa de descarga próxima a parte inferior do tanque é retirada e sai um jato de água cuja velocidade média é v=raiz2 g h, onde h é a altura de água no tanque, medida a partir do centro do orifício de descarga. Sabendo que o diâmetro do orifício é 0,5 in, determine o tempo necessário para que o nível de água no tanque caia para 2 ft .
R: 0,21 \mathrm{~h}.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque cilíndrico com altura de 4 pés e diâmetro de 3 pés, cheio de água. Queremos saber quanto tempo leva para a altura da água cair de 4 pés para 2 pés quando a água começa a escoar por um orifício na parte inferior. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática dos fluidos, especificamente a Lei de Torricelli, que nos ajuda a relacionar a velocidade de saída da água com a altura da coluna de água.

Passo 2

Vamos começar determinando a área do orifício por onde a água está saindo. O diâmetro do orifício é de 0,5 polegadas, então primeiro precisamos converter isso para pés:
0,5 in = 0,512 ft ≈ 0,0417 ft
Agora, calculamos o raio:
r = 0,04172 ≈ 0,0208 ft
A área A = pi r^2 ≈ pi (0,0208)^2 ≈ 0,00136 ft^2 do orifício é:

Passo 3

A velocidade média da água saindo é dada por:
v = raiz2gh
onde é a aceleração da gravidade ( ) e é a altura da água acima do orifício. Mas como estamos lidando com unidades diferentes, vamos manter em pés por segundo ao quadrado.

Passo 4

A taxa de saída de volume dVdt = -A raiz2gh é igual à área do orifício multiplicada pela velocidade da água:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.

Passo 5

Como o tanque é cilíndrico, o volume V = pi rtanque^2 htanque da água é:
rtanque = 32 = 1,5 ft
onde V = pi (1,5)^2 h = 2,25pi h é o raio do tanque. O diâmetro do tanque é 3 pés, então:
dVdt = 2,25pi dhdt
Portanto,
Derivando em relação ao tempo:

Passo 6

Igualando as duas expressões para 2,25pi dhdt = -A raiz2gh :
dhdt = -A2,25pi raiz2gh
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, separando as variáveis para integrar:
dhraizh = -A raiz2g2,25pi dt
Integrando de integral4^2 h^-1/2 dh = -A raiz2g2,25pi integral0^T dt para 2(raiz2 - raiz4) = -A raiz2g2,25pi T pés e de 2(raiz4 - raiz2) = A raiz2g2,25pi T para :
Calculando as integrais:
Simplificando:

Passo 8

Resolvendo para T = 2(2 - raiz2) cdot 2,25piA raiz2g :
A ≈ 0,00136 ft^2, g = 32,2 ft/s^2
Substituindo os valores:
T ≈ 2(2 - 1,414) cdot 2,25pi0,00136 raiz2 cdot 32,2 ≈ 0,21 horas

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente .

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