Para um campo de velocidade uniforme ( U, 0,0 ) e difusividade isotrópica D, apresente a equação que define a distribuição de concentração para uma substância conservativa.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um campo de velocidade uniforme, que está se movendo na direção com velocidade (ou seja, ). Além disso, temos uma difusividade isotrópica , o que significa que a difusão ocorre da mesma forma em todas as direções. A questão quer que a gente escreva a equação que descreve como a concentração de uma substância conservativa se distribui nesse cenário. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de advecção-difusão, que combina os efeitos do movimento do fluido (advecção) e da difusão.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é uma substância conservativa. Basicamente, isso significa que a quantidade da substância permanece constante ao longo do tempo, a menos que ela seja transportada ou difundida. Não há reações químicas consumindo ou produzindo a substância. Portanto, a mudança na concentração da substância está apenas relacionada ao seu transporte e difusão no fluido.

Passo 3

Agora, vamos montar a equação que descreve essa situação. A equação de advecção-difusão geral em três dimensões é dada por:
partial Cpartial t + U partial Cpartial x = D ( partial^2 Cpartial x^2 + partial^2 Cpartial y^2 + partial^2 Cpartial z^2 )
Aqui, é a concentração da substância, é o tempo, e , , são as coordenadas espaciais.

Passo 4

Vamos entender cada termo da equação:
  • : representa a mudança na concentração ao longo do tempo.
  • : representa a advecção, ou seja, o transporte da concentração devido ao fluxo uniforme na direção .
  • : representa a difusão, que é a propagação da concentração devido à movimentação aleatória das moléculas em todas as direções.

Passo 5

Como a difusividade é isotrópica ( é a mesma em todas as direções), a equação simplifica para incluir os termos de segunda derivada em , e . Mas, se estivermos considerando um fluxo unidimensional, por exemplo, apenas na direção , poderíamos simplificar ainda mais a equação removendo os termos de e . Mesmo assim, a forma completa em três dimensões nos dá uma visão mais geral.

Passo 6

Então, resumindo, a equação que define a distribuição de concentração para uma substância conservativa em um campo de velocidade uniforme partial Cpartial t + U partial Cpartial x = D ( partial^2 Cpartial x^2 + partial^2 Cpartial y^2 + partial^2 Cpartial z^2 ) e difusividade isotrópica é:

Resposta

A equação que define a distribuição de concentração é:
partial Cpartial t + U partial Cpartial x = D ( partial^2 Cpartial x^2 + partial^2 Cpartial y^2 + partial^2 Cpartial z^2 )

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