Uma lâmpada é colocada no alto de um poste de de altura. Um homem de de altura caminha afastando-se do poste com uma velocidade de . Com que velocidade a sombra do homem se alonga no instante em que ele está a do poste?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lâmpada no topo de um poste de altura . Um homem de está caminhando para longe do poste com uma velocidade de . Queremos descobrir quão rápido a sombra desse homem está se alongando quando ele está a do poste. Vamos precisar usar conceitos de razão relacionada e semelhança de triângulos para resolver isso.

Passo 2

Vamos desenhar uma figura mental: poste de de altura, homem de a uma distância do poste, e a sombra dele se alongando até um ponto no chão. Vamos chamar a extensão total da sombra de . Então, a distância total da lâmpada até o final da sombra é .

Passo 3

Como a luz da lâmpada forma triângulos semelhantes, podemos relacionar as alturas e as bases desses triângulos. O triângulo maior tem altura e base . O triângulo menor, formado pelo homem e sua sombra, tem altura e base .
Assim, pela semelhança dos triângulos:

Passo 4

Vamos resolver essa proporção para encontrar uma relação entre e . Multiplicando cruzado:
Expandindo:
Subtraindo de ambos os lados:
Então:

Passo 5

Queremos achar a taxa de variação de em relação ao tempo, ou seja, . Sabemos que . Vamos diferenciar a relação em relação ao tempo:

Passo 6

Substituindo por :

Resposta

A sombra do homem está se alongando a uma velocidade de quando ele está a do poste.

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