Uma lâmpada é colocada no alto de um poste de 5m de altura. Um homem de 2m de altura caminha afastando-se do poste com uma velocidade de 3m/s. Com que velocidade a sombra do homem se alonga no instante em que ele está a 4m do poste?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lâmpada no topo de um poste de altura 5,m. Um homem de 2,m está caminhando para longe do poste com uma velocidade de 3,m/s. Queremos descobrir quão rápido a sombra desse homem está se alongando quando ele está a 4,m do poste. Vamos precisar usar conceitos de razão relacionada e semelhança de triângulos para resolver isso.

Passo 2

Vamos desenhar uma figura mental: poste de 5,m de altura, homem de 2,m a uma distância x do poste, e a sombra dele se alongando até um ponto no chão. Vamos chamar a extensão total da sombra de s. Então, a distância total da lâmpada até o final da sombra é x + s.

Passo 3

Como a luz da lâmpada forma triângulos semelhantes, podemos relacionar as alturas e as bases desses triângulos. O triângulo maior tem altura 5,m e base x + s. O triângulo menor, formado pelo homem e sua sombra, tem altura 2,m e base s.
Assim, pela semelhança dos triângulos:
5x + s = 2s

Passo 4

Vamos resolver essa proporção para encontrar uma relação entre s e x. Multiplicando cruzado:
5s = 2(x + s)
Expandindo:
5s = 2x + 2s
Subtraindo 2s de ambos os lados:
3s = 2x
Então:
s = 23x

Passo 5

Queremos achar a taxa de variação de s em relação ao tempo, ou seja, dsdt. Sabemos que dxdt = 3,m/s. Vamos diferenciar a relação s = 23x em relação ao tempo:
dsdt = 23 dxdt

Passo 6

Substituindo dxdt por 3,m/s:
dsdt = 23 times 3 = 2,m/s

Resposta

A sombra do homem está se alongando a uma velocidade de 2,m/s quando ele está a 4,m do poste.

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