Uma lâmpada é colocada no alto de um poste de
de altura. Um homem de
de altura caminha afastando-se do poste com uma velocidade de
. Com que velocidade a sombra do homem se alonga no instante em que ele está a
do poste?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lâmpada no topo de um poste de altura
. Um homem de
está caminhando para longe do poste com uma velocidade de
. Queremos descobrir quão rápido a sombra desse homem está se alongando quando ele está a
do poste. Vamos precisar usar conceitos de razão relacionada e semelhança de triângulos para resolver isso.
Passo 2
Vamos desenhar uma figura mental: poste de
de altura, homem de
a uma distância
do poste, e a sombra dele se alongando até um ponto no chão. Vamos chamar a extensão total da sombra de
. Então, a distância total da lâmpada até o final da sombra é
.
Passo 3
Como a luz da lâmpada forma triângulos semelhantes, podemos relacionar as alturas e as bases desses triângulos. O triângulo maior tem altura
e base
. O triângulo menor, formado pelo homem e sua sombra, tem altura
e base
.
Assim, pela semelhança dos triângulos:
Passo 4
Vamos resolver essa proporção para encontrar uma relação entre
e
. Multiplicando cruzado:
Expandindo:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então:
Passo 5
Queremos achar a taxa de variação de
em relação ao tempo, ou seja,
. Sabemos que
. Vamos diferenciar a relação
em relação ao tempo:
Passo 6
Substituindo
por
:
Resposta
A sombra do homem está se alongando a uma velocidade de
quando ele está a
do poste.
Exercícios relacionados
Expresse
de
no ar em
a pressão de 1 atm e
.
Para um campo de velocidade uniforme (
) e difusividade isotrópica
, apresente a equação que define a distribuição de concentração para uma substância conservativa.
Escreva em poucas palavras o significado de cada termo ou conjunto de termos da seguinte equação:
Demonstre matematicamente que o fluxo na fronteira
é realmente nulo.