Prove que . Utilize a decomposição da velocidade e concentração em relação à média.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a média do produto entre a velocidade e a concentração não é igual ao produto das médias dessas duas grandezas, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar a ideia de decompor a velocidade e a concentração em relação às suas médias. Isso faz parte de tópicos como estatística aplicada e análise de variáveis aleatórias em física ou engenharia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa decompor uma grandeza em relação à sua média. Se temos uma variável , podemos escrevê-la como a soma da sua média () mais uma parte que varia em torno dessa média, chamada de flutuação (). A mesma coisa vale para :
Aqui, e representam as variações de e em relação às suas médias.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar as duas expressões que acabamos de escrever:
Aplicando a distributiva, temos:
Passo 4
Para encontrar a média de , vamos tirar a média de cada termo da expressão acima:
Sabemos que a média de uma constante multiplicada por uma variável é a constante multiplicada pela média da variável. Além disso, as médias das flutuações e são zero, ou seja, e . Aplicando isso:
Passo 5
Agora, observamos que é igual a mais a média do produto das flutuações e . Se for diferente de zero, então será diferente de .