Prove que u C neq baru barC. Utilize a decomposição da velocidade e concentração em relação à média.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a média do produto entre a velocidade e a concentração não é igual ao produto das médias dessas duas grandezas, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar a ideia de decompor a velocidade e a concentração em relação às suas médias. Isso faz parte de tópicos como estatística aplicada e análise de variáveis aleatórias em física ou engenharia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa decompor uma grandeza em relação à sua média. Se temos uma variável u = baru + u' , podemos escrevê-la como a soma da sua média ( C = barC + C' ) mais uma parte que varia em torno dessa média, chamada de flutuação ( ). A mesma coisa vale para :
Aqui, e representam as variações de e em relação às suas médias.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar as duas expressões que acabamos de escrever:
u C = (baru + u') (barC + C')
Aplicando a distributiva, temos:
u C = baru barC + baru C' + u' barC + u' C'

Passo 4

Para encontrar a média de u C = baru barC + baru C' + u' barC + u' C' , vamos tirar a média de cada termo da expressão acima:
u C = baru barC + baru C' + u' barC + u' C'
Sabemos que a média de uma constante multiplicada por uma variável é a constante multiplicada pela média da variável. Além disso, as médias das flutuações u C = baru barC + baru cdot 0 + 0 cdot barC + u' C' e u C = baru barC + u' C' são zero, ou seja, e . Aplicando isso:

Passo 5

Agora, observamos que é igual a mais a média do produto das flutuações e . Se for diferente de zero, então será diferente de .

Resposta

Portanto, demonstramos que quando .

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