Prove que . Utilize a decomposição da velocidade e concentração em relação à média.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a média do produto entre a velocidade e a concentração não é igual ao produto das médias dessas duas grandezas, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar a ideia de decompor a velocidade e a concentração em relação às suas médias. Isso faz parte de tópicos como estatística aplicada e análise de variáveis aleatórias em física ou engenharia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa decompor uma grandeza em relação à sua média. Se temos uma variável , podemos escrevê-la como a soma da sua média ( ) mais uma parte que varia em torno dessa média, chamada de flutuação ( ). A mesma coisa vale para :
Aqui, e representam as variações de e em relação às suas médias.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar as duas expressões que acabamos de escrever:
Aplicando a distributiva, temos:

Passo 4

Para encontrar a média de , vamos tirar a média de cada termo da expressão acima:
Sabemos que a média de uma constante multiplicada por uma variável é a constante multiplicada pela média da variável. Além disso, as médias das flutuações e são zero, ou seja, e . Aplicando isso:

Passo 5

Agora, observamos que é igual a mais a média do produto das flutuações e . Se for diferente de zero, então será diferente de .

Resposta

Portanto, demonstramos que quando .

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Considerando a forma na qual a equação foi apresentada o que você pode dizer sobre o campo de velocidades?
Um viscosímetro de Stormer consta essencialmente de dois cilindros concêntricos, um interior que gira com velocidade angular , e um externo que permanece parado. A viscosidade é determinada medindo a velocidade de rotação do cilindro interno. Deduzir uma expressão para a distribuição de velocidades para esse tipo de equipamento, para o escoamento laminar de um fluido Newtoniano e incompressível. Sabendo-se que a distribuição da tensão de cisalhamento é dada por:

e o torque é força distância de aplicação, mostre como você calcularia a viscosidade.
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Expresse de no ar em a pressão de 1 atm e .