O campo vetorial está escrito em coordenadas cilíndricas da seguinte forma
em que é uma constante não nula. Determine o fluxo de através da superfície do cilindro circular reto de altura , base com raio e eixo de simetria coincidente com o eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre cálculo de fluxo de um campo vetorial. O enunciado diz que o campo está definido em coordenadas cilíndricas pela expressão:
onde é uma constante não nula. Precisamos determinar o fluxo desse campo através da superfície de um cilindro circular reto com altura , base de raio e eixo de simetria coincidente com o eixo .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Vamos analisar a superfície do cilindro e calcular o fluxo em cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície do cilindro que temos. Um cilindro circular reto é composto por três partes:
  1. A superfície lateral: a parte curva ao redor do cilindro.
  2. A base inferior: o disco na base do cilindro.
  3. A base superior: o disco na parte de cima do cilindro.
Para calcular o fluxo total, precisamos calcular o fluxo através de cada uma dessas partes e depois somar os resultados.

Passo 3

Agora, vamos entender como calcular o fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é dado pela integral de superfície:
onde é o vetor área da superfície, que aponta na direção normal à superfície.
Vamos calcular o fluxo para cada parte da superfície do cilindro.

Passo 4

Fluxo pela superfície lateral:
Na superfície lateral do cilindro, o vetor área está na direção radial . O campo também está na direção . Assim, o produto escalar será simples de calcular.
A área lateral de um cilindro é , e .
Portanto, o fluxo pela lateral é:

Passo 5

Fluxo pelas bases (superior e inferior):
Nas bases do cilindro, o vetor área aponta na direção do eixo , ou seja, . Já o campo está na direção radial . Como é perpendicular a , o produto escalar entre e será zero.
Portanto, o fluxo através de cada base é zero:
E como temos duas bases, o fluxo total pelas bases é:

Passo 6

Fluxo total através do cilindro:
Agora, somamos os fluxos calculados para cada parte da superfície:

Resposta

O fluxo de através da superfície do cilindro é .

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