O campo vetorial
está escrito em coordenadas cilíndricas da seguinte forma
em que
é uma constante não nula. Determine o fluxo de
através da superfície do cilindro circular reto de altura
, base com raio
e eixo de simetria coincidente com o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre cálculo de fluxo de um campo vetorial. O enunciado diz que o campo
está definido em coordenadas cilíndricas pela expressão:
onde
é uma constante não nula. Precisamos determinar o fluxo desse campo através da superfície de um cilindro circular reto com altura
, base de raio
e eixo de simetria coincidente com o eixo
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Vamos analisar a superfície do cilindro e calcular o fluxo em cada parte.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a superfície do cilindro que temos. Um cilindro circular reto é composto por três partes:
- A superfície lateral: a parte curva ao redor do cilindro.
- A base inferior: o disco na base do cilindro.
- A base superior: o disco na parte de cima do cilindro.
Para calcular o fluxo total, precisamos calcular o fluxo através de cada uma dessas partes e depois somar os resultados.
Passo 3
Agora, vamos entender como calcular o fluxo. O fluxo
de um campo vetorial
através de uma superfície
é dado pela integral de superfície:
onde
é o vetor área da superfície, que aponta na direção normal à superfície.
Vamos calcular o fluxo para cada parte da superfície do cilindro.
Passo 4
Fluxo pela superfície lateral:
Na superfície lateral do cilindro, o vetor área
está na direção radial
. O campo
também está na direção
. Assim, o produto escalar
será simples de calcular.
A área lateral de um cilindro é
, e
.
Portanto, o fluxo pela lateral é:
Passo 5
Fluxo pelas bases (superior e inferior):
Nas bases do cilindro, o vetor área
aponta na direção do eixo
, ou seja,
. Já o campo
está na direção radial
. Como
é perpendicular a
, o produto escalar entre
e
será zero.
Portanto, o fluxo através de cada base é zero:
E como temos duas bases, o fluxo total pelas bases é:
Passo 6
Fluxo total através do cilindro:
Agora, somamos os fluxos calculados para cada parte da superfície:
Resposta
O fluxo de
através da superfície do cilindro é
.
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
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para qualquer curva fechada simples
que não envolva a origem
. Sugestão: use o teorema de Stokes;
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