O campo vetorial E está escrito em coordenadas cilíndricas da seguinte forma
E=C rhorho
em que C é uma constante não nula. Determine o fluxo de E através da superfície do cilindro circular reto de altura h, base com raio r e eixo de simetria coincidente com o eixo z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre cálculo de fluxo de um campo vetorial. O enunciado diz que o campo E = C rhorho está definido em coordenadas cilíndricas pela expressão:
onde é uma constante não nula. Precisamos determinar o fluxo desse campo através da superfície de um cilindro circular reto com altura , base de raio e eixo de simetria coincidente com o eixo .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Vamos analisar a superfície do cilindro e calcular o fluxo em cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície do cilindro que temos. Um cilindro circular reto é composto por três partes:
  1. A superfície lateral: a parte curva ao redor do cilindro.
  2. A base inferior: o disco na base do cilindro.
  3. A base superior: o disco na parte de cima do cilindro.
Para calcular o fluxo total, precisamos calcular o fluxo através de cada uma dessas partes e depois somar os resultados.

Passo 3

Agora, vamos entender como calcular o fluxo. O fluxo Phi = integral duplaS E cdot dA de um campo vetorial através de uma superfície é dado pela integral de superfície:
onde é o vetor área da superfície, que aponta na direção normal à superfície.
Vamos calcular o fluxo para cada parte da superfície do cilindro.

Passo 4

Fluxo pela superfície lateral:
Na superfície lateral do cilindro, o vetor área Philateral = integral duplalateral C rhorho cdot rho , dA = Cr times 2pi r h = 2pi C h está na direção radial . O campo também está na direção . Assim, o produto escalar será simples de calcular.
A área lateral de um cilindro é , e .
Portanto, o fluxo pela lateral é:

Passo 5

Fluxo pelas bases (superior e inferior):
Nas bases do cilindro, o vetor área Phibase = 0 aponta na direção do eixo Phibases = 0 + 0 = 0 , ou seja, . Já o campo está na direção radial . Como é perpendicular a , o produto escalar entre e será zero.
Portanto, o fluxo através de cada base é zero:
E como temos duas bases, o fluxo total pelas bases é:

Passo 6

Fluxo total através do cilindro:
Agora, somamos os fluxos calculados para cada parte da superfície:
Phitotal = Philateral + Phibases = 2pi C h + 0 = 2pi C h

Resposta

O fluxo de através da superfície do cilindro é .

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