Sejam A e f campos vetorial e escalar, respetivamente, bem-comportados. Demonstre as identidades: nabla cdot(nabla times A)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que a divergente do rotacional de um campo vetorial nabla cdot (nabla times A) = 0 é igual a zero, ou seja:
Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com os operadores divergente ( ) e rotacional ( ). Para resolver isso, vamos usar as definições desses operadores e calcular a expressão passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial nabla times A = ( partial Azpartial y - partial Aypartial z, partial Axpartial z - partial Azpartial x, partial Aypartial x - partial Axpartial y ) . O rotacional é dado por:
nabla cdot B = partial Bxpartial x + partial Bypartial y + partial Bzpartial z
Agora, queremos a divergente desse rotacional. A divergente de um campo vetorial é:
Então, vamos aplicar isso ao rotacional de .

Passo 3

Vamos substituir nabla cdot (nabla times A) = partialpartial x ( partial Azpartial y - partial Aypartial z ) + partialpartial y ( partial Axpartial z - partial Azpartial x ) + partialpartial z ( partial Aypartial x - partial Axpartial y ) pelo rotacional de :

Passo 4

Agora, vamos expandir as derivadas:
partialpartial x ( partial Azpartial y ) - partialpartial x ( partial Aypartial z ) + partialpartial y ( partial Axpartial z ) - partialpartial y ( partial Azpartial x ) + partialpartial z ( partial Aypartial x ) - partialpartial z ( partial Axpartial y )

Passo 5

Perceba que todas as segundas derivadas mistas são iguais, ou seja:
partialpartial x ( partial Azpartial y ) = partialpartial y ( partial Azpartial x )
partialpartial y ( partial Axpartial z ) = partialpartial z ( partial Axpartial y )
partialpartial z ( partial Aypartial x ) = partialpartial x ( partial Aypartial z )

Passo 6

Substituindo essas igualdades na expressão anterior:
nabla cdot (nabla times A) = partial^2 Azpartial x partial y - partial^2 Aypartial x partial z + partial^2 Axpartial y partial z - partial^2 Azpartial y partial x + partial^2 Aypartial z partial x - partial^2 Axpartial z partial y

Passo 7

Observa que cada termo positivo tem um correspondente negativo que é igual, então eles se cancelam:
nabla cdot (nabla times A) = 0

Resposta

Assim, demonstramos que:
nabla cdot (nabla times A) = 0

Exercícios relacionados