Sejam A e campos vetorial e escalar, respetivamente, bem-comportados. Demonstre as identidades:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que a divergente do rotacional de um campo vetorial é igual a zero, ou seja:
Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com os operadores divergente ( ) e rotacional ( ). Para resolver isso, vamos usar as definições desses operadores e calcular a expressão passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial . O rotacional é dado por:
Agora, queremos a divergente desse rotacional. A divergente de um campo vetorial é:
Então, vamos aplicar isso ao rotacional de .

Passo 3

Vamos substituir pelo rotacional de :

Passo 4

Agora, vamos expandir as derivadas:

Passo 5

Perceba que todas as segundas derivadas mistas são iguais, ou seja:

Passo 6

Substituindo essas igualdades na expressão anterior:

Passo 7

Observa que cada termo positivo tem um correspondente negativo que é igual, então eles se cancelam:

Resposta

Assim, demonstramos que:

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Considere o campo vetorial
Mostre que
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