Sejam A e
campos vetorial e escalar, respetivamente, bem-comportados. Demonstre as identidades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que a divergente do rotacional de um campo vetorial
é igual a zero, ou seja:
Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com os operadores divergente (
) e rotacional (
). Para resolver isso, vamos usar as definições desses operadores e calcular a expressão passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial
. O rotacional é dado por:
Agora, queremos a divergente desse rotacional. A divergente de um campo vetorial
é:
Então, vamos aplicar isso ao rotacional de
.
Passo 3
Vamos substituir
pelo rotacional de
:
Passo 4
Agora, vamos expandir as derivadas:
Passo 5
Perceba que todas as segundas derivadas mistas são iguais, ou seja:
Passo 6
Substituindo essas igualdades na expressão anterior:
Passo 7
Observa que cada termo positivo tem um correspondente negativo que é igual, então eles se cancelam:
Resposta
Assim, demonstramos que:
Exercícios relacionados
Quantos elétrons devem ser removidos de um condutor esférico inicialmente sem carga de raio
para que um potencial de
seja produzido na superfície?
Um elétron é liberado a partir do repouso em uma região de campo elétrico uniforme, percorrendo 2,0 cm em
. Determine o campo elétrico da região e o valor da velocidade do elétron ao final do percurso.
Considere o campo vetorial
Mostre que
para qualquer curva fechada simples
que não envolva a origem
. Sugestão: use o teorema de Stokes;
O campo vetorial
está escrito em coordenadas cilíndricas da seguinte forma
em que
é uma constante não nula. Determine o fluxo de
através da superfície do cilindro circular reto de altura
, base com raio
e eixo de simetria coincidente com o eixo
.