Sejam A e
campos vetorial e escalar, respetivamente, bem-comportados. Demonstre as identidades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que a divergente do rotacional de um campo vetorial
é igual a zero, ou seja:
Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com os operadores divergente (
) e rotacional (
). Para resolver isso, vamos usar as definições desses operadores e calcular a expressão passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial
. O rotacional é dado por:
Agora, queremos a divergente desse rotacional. A divergente de um campo vetorial
é:
Então, vamos aplicar isso ao rotacional de
.
Passo 3
Vamos substituir
pelo rotacional de
:
Passo 4
Agora, vamos expandir as derivadas:
Passo 5
Perceba que todas as segundas derivadas mistas são iguais, ou seja:
Passo 6
Substituindo essas igualdades na expressão anterior:
Passo 7
Observa que cada termo positivo tem um correspondente negativo que é igual, então eles se cancelam:
Resposta
Assim, demonstramos que: