Considere o campo vetorial
Mostre que
para qualquer curva fechada simples que não envolva a origem . Sugestão: use o teorema de Stokes;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial , onde e . A gente precisa mostrar que a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada que não envolve a origem é zero, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem essa curva como fronteira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Onde é a curva fechada, é a superfície que tem como borda, é o rotacional de , e é o elemento de área da superfície.
Então, para mostrar que a integral de linha é zero, basta mostrar que a integral de superfície do rotacional de é zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de , ou seja, .
Dado , onde , temos:
Para encontrar , usamos a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas:
Calculando cada componente:
  • , ,
  • Derivando parcialmente:
Então,
Fazendo os mesmos cálculos para as outras componentes, vemos que todas elas são iguais a zero. Portanto,

Passo 4

Agora que sabemos que o rotacional de é zero, podemos voltar ao Teorema de Stokes:
Então, a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada que não envolve a origem é zero.

Resposta

Portanto, mostramos que:
para qualquer curva fechada simples que não envolve a origem.

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