Considere o campo vetorial
F(r)=rr^2, r=|r|, r=x i+y j+z k, r=r /|r|
Mostre que
ointGamma F(r) cdot d l=0
para qualquer curva fechada simples Gamma que não envolva a origem (0,0,0). Sugestão: use o teorema de Stokes;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial ointGamma F(r) cdot d l = 0 , onde e . A gente precisa mostrar que a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada que não envolve a origem é zero, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem essa curva como fronteira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
ointGamma F cdot dl = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Onde é a curva fechada, é a superfície que tem como borda, é o rotacional de , e é o elemento de área da superfície.
Então, para mostrar que a integral de linha é zero, basta mostrar que a integral de superfície do rotacional de é zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F = rr^3 , ou seja, nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k .
Dado partial Fzpartial y = partialpartial y ( zr^3 ) = -3zyr^5 , onde partial Fypartial z = partialpartial z ( yr^3 ) = -3yzr^5 , temos:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = -3zyr^5 - -3yzr^5 = 0
Para encontrar nabla times F = 0 , usamos a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas:
Calculando cada componente:
  • , ,
  • Derivando parcialmente:
Então,
Fazendo os mesmos cálculos para as outras componentes, vemos que todas elas são iguais a zero. Portanto,

Passo 4

Agora que sabemos que o rotacional de ointGamma F cdot dl = integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaS 0 cdot dS = 0 é zero, podemos voltar ao Teorema de Stokes:
Então, a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada que não envolve a origem é zero.

Resposta

Portanto, mostramos que:
ointGamma F(r) cdot d l = 0
para qualquer curva fechada simples que não envolve a origem.

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