Considere o campo vetorial
Mostre que
para qualquer curva fechada simples
que não envolva a origem
. Sugestão: use o teorema de Stokes;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
, onde
e
. A gente precisa mostrar que a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada
que não envolve a origem é zero, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem essa curva como fronteira.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Onde
é a curva fechada,
é a superfície que tem
como borda,
é o rotacional de
, e
é o elemento de área da superfície.
Então, para mostrar que a integral de linha é zero, basta mostrar que a integral de superfície do rotacional de
é zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, ou seja,
.
Dado
, onde
, temos:
Para encontrar
, usamos a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas:
Calculando cada componente:
-
, , - Derivando parcialmente:
Então,
Fazendo os mesmos cálculos para as outras componentes, vemos que todas elas são iguais a zero. Portanto,
Passo 4
Agora que sabemos que o rotacional de
é zero, podemos voltar ao Teorema de Stokes:
Então, a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada
que não envolve a origem é zero.
Resposta
Portanto, mostramos que:
para qualquer curva fechada simples
que não envolve a origem.
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.
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