Considere dois deslocamentos, um de módulo 3 m e outro de módulo 4 m . Mostre como os vetores deslocamentos podem ser combinados, de modo que o deslocamento resultante tenha módulo (a) 7 m , (b) 1 m e © 5 m .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como combinar dois deslocamentos (ou vetores) que têm módulos de 3 metros e 4 metros. O objetivo é descobrir de que jeito podemos juntar esses vetores para que o deslocamento resultante tenha um módulo específico: 7 metros, 1 metro e 5 metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e um pouco de trigonometria, especialmente a Lei dos Cossenos, que nos ajuda a encontrar a relação entre os lados de um triângulo e o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como somar dois vetores. Imagine que você tem dois vetores, um de 3 metros e outro de 4 metros. Quando você os combina, o vetor resultante depende do ângulo entre eles. Se os vetores estiverem na mesma direção, o resultado será simplesmente a soma dos módulos. Se estiverem em direções opostas, a subtração ocorrerá. Mas e se o ângulo for diferente? É aí que a Lei dos Cossenos entra em cena.

Passo 3

A Lei dos Cossenos é uma ferramenta poderosa na trigonometria que relaciona os lados de um triângulo com o ângulo entre eles. A fórmula é:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(theta)
Onde:
  • é o módulo do vetor resultante.
  • e são os módulos dos vetores que estamos somando.
  • é o ângulo entre os dois vetores.

Passo 4

Vamos reorganizar a fórmula para encontrar o ângulo cos(theta) = a^2 + b^2 - c^22ab :
theta = cos^-1( a^2 + b^2 - c^22ab )
Assim, podemos calcular usando o arco cosseno:

Passo 5

Agora, vamos aplicar isso para cada um dos casos pedidos:

a) Deslocamento resultante de 7 metros

Aqui, cos(theta) = 3^2 + 4^2 - 7^22 times 3 times 4 = 9 + 16 - 4924 = -2424 = -1 m, theta = cos^-1(-1) = 180^circ m e cos(theta) = 3^2 + 4^2 - 1^22 times 3 times 4 = 9 + 16 - 124 = 2424 = 1 m.
theta = cos^-1(1) = 0^circ
Então,
c = |a - b| = |3 - 4| = 1 m
Isso significa que os vetores estão em direções opostas.

b) Deslocamento resultante de 1 metro

Aqui, cos(theta) = 3^2 + 4^2 - 5^22 times 3 times 4 = 9 + 16 - 2524 = 024 = 0 m, theta = cos^-1(0) = 90^circ m e m.
Então,
Isso significa que os vetores estão na mesma direção.
Obs: No entanto, isso parece contraditório, pois se os vetores estão na mesma direção, a soma seria 7 m, não 1 m. Isso indica que, para obter um deslocamento resultante menor que a diferença dos módulos, os vetores devem estar em direções opostas. Vamos refazer:
Portanto, os vetores estão em direções opostas, .

c) Deslocamento resultante de 5 metros

Aqui, m, m e m.
Então,
Isso significa que os vetores estão perpendiculares entre si.

Resposta

a) Ângulo de ;
b) Ângulo de ;
c) Ângulo de .

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