Considere dois deslocamentos, um de módulo 3 m e outro de módulo 4 m . Mostre como os vetores deslocamentos podem ser combinados, de modo que o deslocamento resultante tenha módulo (a) 7 m , (b) 1 m e © 5 m .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como combinar dois deslocamentos (ou vetores) que têm módulos de 3 metros e 4 metros. O objetivo é descobrir de que jeito podemos juntar esses vetores para que o deslocamento resultante tenha um módulo específico: 7 metros, 1 metro e 5 metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e um pouco de trigonometria, especialmente a Lei dos Cossenos, que nos ajuda a encontrar a relação entre os lados de um triângulo e o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como somar dois vetores. Imagine que você tem dois vetores, um de 3 metros e outro de 4 metros. Quando você os combina, o vetor resultante depende do ângulo entre eles. Se os vetores estiverem na mesma direção, o resultado será simplesmente a soma dos módulos. Se estiverem em direções opostas, a subtração ocorrerá. Mas e se o ângulo for diferente? É aí que a Lei dos Cossenos entra em cena.
Passo 3
A Lei dos Cossenos é uma ferramenta poderosa na trigonometria que relaciona os lados de um triângulo com o ângulo entre eles. A fórmula é:
Onde:
-
é o módulo do vetor resultante. -
e são os módulos dos vetores que estamos somando. -
é o ângulo entre os dois vetores.
Passo 4
Vamos reorganizar a fórmula para encontrar o ângulo
:
Assim, podemos calcular
usando o arco cosseno:
Passo 5
Agora, vamos aplicar isso para cada um dos casos pedidos:
a) Deslocamento resultante de 7 metros
Aqui,
m,
m e
m.
Então,
Isso significa que os vetores estão em direções opostas.
b) Deslocamento resultante de 1 metro
Aqui,
m,
m e
m.
Então,
Isso significa que os vetores estão na mesma direção.
Obs: No entanto, isso parece contraditório, pois se os vetores estão na mesma direção, a soma seria 7 m, não 1 m. Isso indica que, para obter um deslocamento resultante menor que a diferença dos módulos, os vetores devem estar em direções opostas. Vamos refazer:
Portanto, os vetores estão em direções opostas,
.
c) Deslocamento resultante de 5 metros
Aqui,
m,
m e
m.
Então,
Isso significa que os vetores estão perpendiculares entre si.
Resposta
a) Ângulo de
;
b) Ângulo de ;
c) Ângulo de .
b) Ângulo de
c) Ângulo de
Exercícios relacionados
O campo vetorial
está escrito em coordenadas cilíndricas da seguinte forma
em que
é uma constante não nula. Determine o fluxo de
através da superfície do cilindro circular reto de altura
, base com raio
e eixo de simetria coincidente com o eixo
.
Considere o campo vetorial
Mostre que
para qualquer curva fechada simples
que não envolva a origem
. Sugestão: use o teorema de Stokes;
Suponha que você e colegas de turma estejam discutindo o projeto de uma montanha-russa. Um dos colegas diz que cada topo de pista deve ser mais baixo do que o anterior. A outra colega diz que isso não faz sentido, pois desde que o primeiro deles seja o mais alto de todos, não importa a que altura estarão os demais. O que você diz?
Sejam A e
campos vetorial e escalar, respetivamente, bem-comportados. Demonstre as identidades: