O campo vetorial F é definido por F(x) = < x*y, z+x, y >. Calcule nabla x F e encontre os pontos onde nabla x F = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o rotacional (também chamado de curl) de um campo vetorial e descobrir em quais pontos esse rotacional é igual a zero. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de rotacional de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de , denotado por , é uma medida de quanto o campo gira em torno de um ponto. A fórmula para calcular o rotacional em coordenadas cartesianas é a seguinte:

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes do vetor :
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias para o rotacional:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
ã
  1. Terceira componente:

Passo 4

Juntando tudo, o rotacional fica:
Agora, queremos encontrar os pontos onde . Isso significa que cada componente do rotacional deve ser igual a zero:

Resposta

O rotacional de é . Os pontos onde são todos os pontos com , ou seja, o conjunto .

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Encontre o gradiente e o Laplaciano de
phi(x) = sen(k x) sen(l y) exp(raiz(k^2 + l^2) z)
Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty raizn+1-raiznn
Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty sin (1 / n)raizn
Usando a continuidade e o 1^o Limite Fundamental do Cálculo, encontre:
c) lim x 0 sen(8 x)sen(9 x)