Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de séries infinitas, especificamente queremos saber se a série
converge ou não. Para resolver isso, vamos usar o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite, que são técnicas para comparar nossa série com outra que já sabemos se converge ou diverge. Vamos precisar entender como simplificar a expressão da série e escolher uma série comparativa adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que:
Então, nossa série fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador
. Para valores grandes de
,
, então
. Portanto, podemos aproximar a expressão:
Passo 4
Com essa aproximação, vamos comparar nossa série com a série
. Sabemos que a série
converge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1, então a série comparativa converge.
Passo 5
Agora, aplicamos o Critério da Comparação pelo Limite. Vamos calcular o limite:
Simplificando:
Passo 6
O limite que encontramos é
, que é um número finito e positivo. Segundo o Critério da Comparação pelo Limite, se esse limite existe e é diferente de zero, nossas séries têm o mesmo comportamento de convergência. Já que a série comparativa
converge, então a série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Usando a continuidade e o
Limite Fundamental do Cálculo, encontre:
j)
j)
Encontre o gradiente e o Laplaciano de
O campo vetorial
é definido por
. Calcule
e encontre os pontos onde
.