Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty raizn+1-raiznn

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de séries infinitas, especificamente queremos saber se a série converge ou não. Para resolver isso, vamos usar o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite, que são técnicas para comparar nossa série com outra que já sabemos se converge ou diverge. Vamos precisar entender como simplificar a expressão da série e escolher uma série comparativa adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão raizn+1 - raizn = (raizn+1 - raizn)(raizn+1 + raizn)raizn+1 + raizn = (n+1) - nraizn+1 + raizn = 1raizn+1 + raizn . Sabemos que:
sumn=1^infty 1n(raizn+1 + raizn)
Então, nossa série fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador 1n(raizn+1 + raizn) approx 1n cdot 2raizn = 12n^3/2 . Para valores grandes de , , então . Portanto, podemos aproximar a expressão:

Passo 4

Com essa aproximação, vamos comparar nossa série com a série . Sabemos que a série converge se . No nosso caso, , que é maior que 1, então a série comparativa converge.

Passo 5

Agora, aplicamos o Critério da Comparação pelo Limite. Vamos calcular o limite:
limn to infty 1n(raizn+1 + raizn)1n^3/2 = limn to infty n^3/2n(raizn+1 + raizn) = limn to infty raiznraizn+1 + raizn
Simplificando:
= limn to infty raizn2raizn = 12

Passo 6

O limite que encontramos é , que é um número finito e positivo. Segundo o Critério da Comparação pelo Limite, se esse limite existe e é diferente de zero, nossas séries têm o mesmo comportamento de convergência. Já que a série comparativa converge, então a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty raizn+1-raiznraizn
Usando a continuidade e o 1^o Limite Fundamental do Cálculo, encontre:
j) lim x 0 sen(x)x+tg(x)
Encontre o gradiente e o Laplaciano de
phi(x) = sen(k x) sen(l y) exp(raiz(k^2 + l^2) z)
O campo vetorial F é definido por F(x) = < x*y, z+x, y >. Calcule nabla x F e encontre os pontos onde nabla x F = 0.