Encontre o gradiente e o Laplaciano de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o gradiente e o Laplaciano da função
Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais e operadores diferenciais como o gradiente e o Laplaciano. Vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e aplicar as fórmulas para gradiente e Laplaciano.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis, que aqui são
,
e
.
Então, o gradiente
é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
Aqui,
e
são constantes em relação a
, então aplicamos a derivada da função
:
- Derivada parcial em relação a
:
Similarmente,
e
são constantes em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Aqui,
e
são constantes em relação a
, então derivamos a exponencial:
Então, juntando tudo, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o Laplaciano da função
. O Laplaciano é a soma das segundas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada segunda derivada parcial:
- Segunda derivada parcial em relação a
:
Derivando novamente
:
- Segunda derivada parcial em relação a
:
Derivando novamente
:
- Segunda derivada parcial em relação a
:
Derivando a exponencial:
Agora, somamos as três segundas derivadas:
Perceba que
, então:
Resposta
O gradiente de
é
e o Laplaciano de
é zero:
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é definido por
. Calcule
e encontre os pontos onde
.
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