Encontre o gradiente e o Laplaciano de
phi(x) = sen(k x) sen(l y) exp(raiz(k^2 + l^2) z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o gradiente e o Laplaciano da função
Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais e operadores diferenciais como o gradiente e o Laplaciano. Vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e aplicar as fórmulas para gradiente e Laplaciano.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis, que aqui são , e .
Então, o gradiente é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
Aqui, e são constantes em relação a , então aplicamos a derivada da função :
  1. Derivada parcial em relação a :
Similarmente, e são constantes em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Aqui, e são constantes em relação a , então derivamos a exponencial:
Então, juntando tudo, o gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o Laplaciano da função . O Laplaciano é a soma das segundas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada segunda derivada parcial:
  1. Segunda derivada parcial em relação a :
Derivando novamente :
  1. Segunda derivada parcial em relação a :
Derivando novamente :
  1. Segunda derivada parcial em relação a :
Derivando a exponencial:
Agora, somamos as três segundas derivadas:
Perceba que , então:

Resposta

O gradiente de é
e o Laplaciano de é zero:

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