Se o campo vetorial
for um campo conservativo, calcule a função potencial deste campo e use a função potencial para calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta um campo vetorial e nos pede para encontrar a função potencial desse campo, já que ele é conservativo. Além disso, precisamos usar essa função para calcular a integral de linha
. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar
, ou seja,
. Isso significa que existem funções
,
e
que correspondem às componentes de
.
Passo 3
Vamos igualar as componentes de
ao gradiente de
:
Agora, vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar
.
Passo 4
Começamos integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e
, pois a derivada em relação a
já foi realizada.
Passo 5
Agora, usamos a segunda equação . Calculamos a derivada de
em relação a
:
Igualando à equação dada:
Isso implica que
, ou seja,
não depende de
. Então,
, onde
é uma função de
apenas.
Passo 6
Agora, usamos a terceira equação
. Calculamos a derivada de
em relação a
:
Igualando à equação dada:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Podemos chamar essa constante de
.
Passo 7
Assim, a função potencial
fica:
Podemos ignorar a constante
ao calcular a integral, já que ela se anula.
Resposta
A função potencial é
. Usando essa função, a integral
é igual a
no ponto final menos
no ponto inicial.
Exercícios relacionados
Calcule
, sendo
e
, sem utilizar o Teorema fundamental das Integrais de Linha.
Verifique se o campo vetorial
é um campo conservativo.
Supondo que
, determine
.
Calcule
.