Se o campo vetorial for um campo conservativo, calcule a função potencial deste campo e use a função potencial para calcular .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta um campo vetorial e nos pede para encontrar a função potencial desse campo, já que ele é conservativo. Além disso, precisamos usar essa função para calcular a integral de linha . Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar , ou seja, . Isso significa que existem funções , e que correspondem às componentes de .

Passo 3

Vamos igualar as componentes de ao gradiente de :
Agora, vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar .

Passo 4

Começamos integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e , pois a derivada em relação a já foi realizada.

Passo 5

Agora, usamos a segunda equação . Calculamos a derivada de em relação a :
Igualando à equação dada:
Isso implica que , ou seja, não depende de . Então, , onde é uma função de apenas.

Passo 6

Agora, usamos a terceira equação . Calculamos a derivada de em relação a :
Igualando à equação dada:
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Podemos chamar essa constante de .

Passo 7

Assim, a função potencial fica:
Podemos ignorar a constante ao calcular a integral, já que ela se anula.

Resposta

A função potencial é . Usando essa função, a integral é igual a no ponto final menos no ponto inicial.

Exercícios relacionados

Calcule , sendo e , sem utilizar o Teorema fundamental das Integrais de Linha.
Verifique se o campo vetorial é um campo conservativo.
Supondo que , determine .
Calcule .