Verifique se o campo vetorial
é um campo conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício que pede para verificar se um campo vetorial específico é conservativo. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como o gradiente e o rotacional de um campo. Para resolver essa questão, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como calcular o rotacional de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser expresso como o gradiente de uma função escalar
, ou seja:
Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional (também conhecido como curl) do campo vetorial é igual a zero. Ou seja:
Então, para verificar se o campo
é conservativo, vamos calcular seu rotacional e ver se ele resulta em um vetor zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
.
A fórmula para o rotacional é:
Vamos calcular cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Passo 4
Juntando todas as componentes que calculamos:
O rotacional de
resulta no vetor zero.
Resposta
Como o rotacional de
é zero, concluímos que o campo vetorial
é conservativo.
Exercícios relacionados
Se o campo vetorial
for um campo conservativo, calcule a função potencial deste campo e use a função potencial para calcular
.
Calcule
, sendo
e
, sem utilizar o Teorema fundamental das Integrais de Linha.
Calcule
, sendo
e
, sem utilizar o Teorema fundamental das Integrais de Linha.
Se o campo vetorial
for um campo conservativo, calcule a função potencial deste campo e use a função potencial para calcular
.