Verifique se o campo vetorial é um campo conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício que pede para verificar se um campo vetorial específico é conservativo. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como o gradiente e o rotacional de um campo. Para resolver essa questão, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como calcular o rotacional de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser expresso como o gradiente de uma função escalar , ou seja:
Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional (também conhecido como curl) do campo vetorial é igual a zero. Ou seja:
Então, para verificar se o campo é conservativo, vamos calcular seu rotacional e ver se ele resulta em um vetor zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de .
A fórmula para o rotacional é:
Vamos calcular cada componente:
  1. Componente :
áãáã
áãáã
é
  1. Componente :
é
  1. Componente :
é

Passo 4

Juntando todas as componentes que calculamos:
O rotacional de resulta no vetor zero.

Resposta

Como o rotacional de é zero, concluímos que o campo vetorial é conservativo.

Exercícios relacionados

Se o campo vetorial for um campo conservativo, calcule a função potencial deste campo e use a função potencial para calcular .
Calcule , sendo e , sem utilizar o Teorema fundamental das Integrais de Linha.
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