Supondo que
, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função vetorial
e pede para calcular algumas derivadas e operações com elas no ponto
. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais, vetores unitários e produto vetorial. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções vetoriais, encontrar vetores tangentes e calcular produtos entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função vetorial, ou seja,
. Derivar uma função vetorial significa derivar cada uma das suas componentes em relação a
.
Agora, avaliamos essa derivada no ponto
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor tangente unitário
. O vetor tangente unitário é obtido normalizando a primeira derivada, ou seja, dividindo
pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de
:
Então, o vetor tangente unitário é:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a segunda derivada da função vetorial,
. Isso significa derivar novamente cada componente da primeira derivada.
Avaliando no ponto
:
Passo 5
Por último, vamos calcular o produto vetorial entre
e
. O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Resposta
Exercícios relacionados
Se o campo vetorial
for um campo conservativo, calcule a função potencial deste campo e use a função potencial para calcular
.
Calcule
, sendo
e
, sem utilizar o Teorema fundamental das Integrais de Linha.
Calcule
.
Verifique se a função
é harmônica. (Obs.:
)