Supondo que , determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função vetorial e pede para calcular algumas derivadas e operações com elas no ponto . A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais, vetores unitários e produto vetorial. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções vetoriais, encontrar vetores tangentes e calcular produtos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função vetorial, ou seja, . Derivar uma função vetorial significa derivar cada uma das suas componentes em relação a .
Agora, avaliamos essa derivada no ponto :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente unitário . O vetor tangente unitário é obtido normalizando a primeira derivada, ou seja, dividindo pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada da função vetorial, . Isso significa derivar novamente cada componente da primeira derivada.
Avaliando no ponto :

Passo 5

Por último, vamos calcular o produto vetorial entre e . O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Resposta

Exercícios relacionados

Se o campo vetorial for um campo conservativo, calcule a função potencial deste campo e use a função potencial para calcular .
Calcule , sendo e , sem utilizar o Teorema fundamental das Integrais de Linha.
Calcule .
Verifique se a função é harmônica. (Obs.: )