Supondo que r(t) = < e^(2t), e^(-3t), t >, determine r'(0), T(0), r''(0) e r'(0) x r''(0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função vetorial r(t) = < e^(2t), e^(-3t), t > e pede para calcular algumas derivadas e operações com elas no ponto t = 0. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais, vetores unitários e produto vetorial. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções vetoriais, encontrar vetores tangentes e calcular produtos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função vetorial, ou seja, r'(t). Derivar uma função vetorial significa derivar cada uma das suas componentes em relação a t.
Agora, avaliamos essa derivada no ponto t = 0:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente unitário . O vetor tangente unitário é obtido normalizando a primeira derivada, ou seja, dividindo r'(t) pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada da função vetorial, r''(t). Isso significa derivar novamente cada componente da primeira derivada.
Avaliando no ponto t = 0:

Passo 5

Por último, vamos calcular o produto vetorial entre e . O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Resposta

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