Calcule integralC F cdot d r, sendo F(x, y, z)=[cos (y)+e^z] i+[-x sen(y)] j+[x e^z] k e C: x=2, y=t, z=t, 0 <= t <= 2, sem utilizar o Teorema fundamental das Integrais de Linha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva C. Isso envolve entender como a curva está parametrizada e como o campo vetorial se comporta ao longo dela. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Pelo enunciado, a curva é dada por:
x = 2, y = t, z = t, 0 <= t <= 2
Isso significa que podemos escrever a posição na curva como um vetor função de t:
r(t) = lang<= 2, , t, , t rang<=
onde t varia de 0 a 2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que nos dá o vetor diferencial dr:
drdt = lang<= dxdt, , dydt, , dzdt rang<= = lang<= 0, , 1, , 1 rang<=
Então, o diferencial de posição é:
dr = lang<= 0, , 1, , 1 rang<= , dt

Passo 4

Agora, vamos substituir a parametrização da curva na função vetorial F(x, y, z):
F(x, y, z) = [cos(y) + e^z] i + [-x sin(y)] j + [x e^z] k
Substituindo x=2, y=t e z=t, temos:
F(r(t)) = [cos(t) + e^t] i + [-2 sin(t)] j + [2 e^t] k

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F(r(t)) cdot dr:
F cdot dr = [cos(t) + e^t] cdot 0 + [-2 sin(t)] cdot 1 + [2 e^t] cdot 1 = -2 sin(t) + 2 e^t
Ou seja:
F cdot dr = 2 e^t - 2 sin(t)

Passo 6

Finalmente, vamos integrar essa expressão de t=0 a t=2:
integralC F cdot dr = integral0^2 (2 e^t - 2 sin(t)) dt
Resolvendo a integral:
= 2 integral0^2 e^t dt - 2 integral0^2 sin(t) dt
= 2 [e^t]0^2 - 2 [-cos(t)]0^2
= 2 (e^2 - 1) - 2 (-cos(2) + 1)
= 2 e^2 - 2 + 2 cos(2) - 2
= 2 e^2 + 2 cos(2) - 4

Resposta

integralC F cdot d r = 2 e^2 + 2 cos(2) - 4

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