Calcule
, sendo
e
, sem utilizar o Teorema fundamental das Integrais de Linha.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. Isso envolve entender como a curva está parametrizada e como o campo vetorial se comporta ao longo dela. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Pelo enunciado, a curva é dada por:
Isso significa que podemos escrever a posição na curva como um vetor função de
:
onde
varia de 0 a 2.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que nos dá o vetor diferencial
:
Então, o diferencial de posição é:
Passo 4
Agora, vamos substituir a parametrização da curva na função vetorial
:
Substituindo
,
e
, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Ou seja:
Passo 6
Finalmente, vamos integrar essa expressão de
a
:
Resolvendo a integral:
Resposta
Exercícios relacionados
Verifique se o campo vetorial
é um campo conservativo.
Se o campo vetorial
for um campo conservativo, calcule a função potencial deste campo e use a função potencial para calcular
.
Se o campo vetorial
for um campo conservativo, calcule a função potencial deste campo e use a função potencial para calcular
.
Supondo que
, determine
.