Calcule , sendo e , sem utilizar o Teorema fundamental das Integrais de Linha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva . Isso envolve entender como a curva está parametrizada e como o campo vetorial se comporta ao longo dela. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Pelo enunciado, a curva é dada por:
Isso significa que podemos escrever a posição na curva como um vetor função de :
onde varia de 0 a 2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dá o vetor diferencial :
Então, o diferencial de posição é:

Passo 4

Agora, vamos substituir a parametrização da curva na função vetorial :
Substituindo , e , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Ou seja:

Passo 6

Finalmente, vamos integrar essa expressão de a :
Resolvendo a integral:

Resposta

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Verifique se o campo vetorial é um campo conservativo.
Se o campo vetorial for um campo conservativo, calcule a função potencial deste campo e use a função potencial para calcular .
Se o campo vetorial for um campo conservativo, calcule a função potencial deste campo e use a função potencial para calcular .
Supondo que , determine .